Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion:
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=-6+3 x_{1}^{4}-3 x_{2}^{3}-6 x_{1}^{2} x_{2}^{3}+4 x_{1}^{2} \)
Wie stark ändert sich die Funktion an der Stelle \( a=(2,2.8), \), wenn das este Argument \( 1.9 \) steigt und das zweite Argument um \( 1.9 \) sinkt? Berechnen Sie die dadurch hervorgerufene Funktionsänderung mit Hilfe des totalen Differentials.
Problem/Ansatz:
$$ \begin{array}{l} { f(x_1, x_2) =-6+3 x_{1}^{4}-3 x_{2}^{3}-6 x_{1}^{6} x_{2}^{3}+4 x_{1}^{4}} \\ f^{\prime}(x_1) = {12 x_{1}-3 x_{2}^{3}-36 x_{1}^{5} \cdot x_{2}^{3}+16 x_{1}} \end{array} $$
\( f^{\prime}\left(x_{2}\right)=3 x_{1}^{4}-9 x_{2}^{2}-18 x_{1}^{6} x_{2}^{2}+4 x_{1}^{4} \)
\( f^{\prime}(2,2,8)=12 \cdot 2-3 \cdot 2,8^{3}-36 \cdot 2^{5} \cdot 2,8^{3}+16 \cdot 2 =-25298,56 \)
\( f(2,2,8) = 3 \cdot 2^{4}-9 \cdot 2,8^{2} \cdot 18 \cdot 2^{6} \cdot 2,8^{2}+4 \cdot 2^{4} =-8990,24 \)
$$ \begin{aligned} -25298,56 \cdot & 1,9+(-8990,24 \cdot(-1,9)=\\ =&-30985,808 \\ & \approx 30985,81 \end{aligned} $$
Stimmt das so?
