Geometrische Reihe im Komplexen

Question

Es geht in der folgenden Aufgabe um die Anwendung von geometrischen Reihen.

ich weiß zwar wie die geometrische Reihe angewendet wird, jedoch habe ich keine Ahnung wie ich sie in dieser Aufgabe anwenden soll.

ich wäre wirklich sehr sehr dankbar, wenn jemand mir helfen könnte.

Herr Hase ist ein begeisterter Jogger. Eines Morgens macht er sich auf und läuft zunächst 16 Kilometer nach Osten. Dann biegt er nach Norden ab und legt 8 Kilometer zurück, um anschliessend 4 Kilometer in westlicher Richtung zu laufen. Es folgen 2 Kilometer nach Süden, ein Kilometer nach Osten usw..

Sein Bekannter, Herr Igel, ist weniger sportbegeistert und wandert lieber gemächlichen Schrittes, mitunter auch querfeldein. Dementsprechend ist er auch nur halb so schnell unterwegs wie Herr Hase. Er macht sich exakt zur selben Zeit und vom selben Ort auf und geht - ungefähr - in ost-nord-östlicher Richtung, ohne auch nur einmal diese Richtung zu ändern. Nach ihrer Rückkehr am Abend behauptet Herr Igel, er habe Herrn Hase an seinem Zielort bereits erwartet, als dieser dort eingelaufen sei, und das, obwohl er selbst, auf dem Weg dorthin, sich noch eine kurze Pause gegönnt habe. Herr Hase bestreitet dies auf das Heftigste.

Wo liegt der Zielort, und wem der beiden können wir Glauben schenken, wenn wir unterstellen, dass Herr Igel am Morgen gleich die richtige Richtung eingeschlagen hat?

Hinweis: Geometrische Reihe im Komplexen

,
Joseph

Answer 1

Herr Hase durchläuft den folgenden Weg:

\(16+8i-4-2i+- ...=16\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{i}{2})^n\).

Wegen \(|i/2|<1\) konvergiert diese geometrische Reihe

gegen \(16\cdot\frac{1}{1-i/2}=16+8i\). Das ist der Zielpunkt.

Herr Hase legt dabei die Strecke

\(16\sum_{n=0}^{\infty}(1/2)^n=16\cdot\frac{1}{1-1/2}=32\) km zurück.

Herr Igel hingegen nimmt die "Vogelfluglinie" mit der Länge

\(\sqrt{16^2+8^2}=8\sqrt{5}\), d.h. circa \(17,89\) km.

Comments

s_I = 32 / √5 , sonst treffen sie sich nicht.

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Ja, ich denke, dass Herr Igel gelogen hat.

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Einerseits   Ja    und
andererseits    ich denke, dass Herr Igel gelogen hat

ist widersprüchlich.

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Ich glaube, dass sie sich nicht getroffen haben.

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Aus   er habe Herrn Hase an seinem Zielort bereits erwartet, als dieser dort eingelaufen sei   kann man zweifelsfrei schließen, dass sie sich getroffen haben.

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"Nach ihrer Rückkehr am Abend BEHAUPTET Herr Igel, er habe Herrn Hase an seinem Zielort bereits erwartet, als dieser dort eingelaufen sei,"

Aber genau das ist gelogen!

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Du willst scheinbar nicht verstehen, dass es nicht gelogen ist.

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Wenn Herr Igel nur die halbe Geschwindigkeit von Herrn Hase hat,

kann er nicht mehr als 16 km in derselben Zeit zurücklegen,

in der Herr Hase seine 32 km zurücklegt.

In der Tat kann ich es nicht verstehen, dass Herr Igel Recht haben soll,

und das liegt nicht daran, dass ich es nicht will.

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mehr als 16 km in derselben Zeit zurücklegen

Ich habe dich doch auf deinen Fehler hingewiesen : s_I = 32 / √5   ≈ 14,31 < 16

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Wo soll mein Fehler sein?

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Bei deiner Rechnung läuft I. irrtümlicherweise zu dem Punkt, an dem H. zum zweitenmal abbiegt.

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Warum sagst du mir nicht, dass ich mich beim Berechnen

des Wertes der geometrischen Hasen-Reihe verrechnet habe?

Dann hätte ich es ja sofort eingesehen ...

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Für die Mitleser: der richige(!) Zielpunkt, der

sich aus der geometrischen Hasen-Reihe ergibt, ist

\(\frac{32}{5}(2+i)\)

Answer 2

Ich glaube keinem der beiden.

Comments

;-)

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Das erinnert an Zenon. Ich verwende hier keine komplexen Zahlen, da sie nicht benötigt werden.

Die beiden Helden bewegen sich in einem orthonormierten Koordinatensystem, mit Startpunkt im Ursprung.

Die x-Koordinate des Ziels des Hasen ist

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 16\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{64}{5}=12,8 \)

Die y-Koordinate des ZIels des Hasen ist

\( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 8\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{32}{5}=6,4 \)

Der Igel läuft also eine gerade Strecke von \( \sqrt{(\frac{64}{5})^2+(\frac{32}{5})^2} = \frac{32}{\sqrt{5}} \) ins Ziel.

Der Hase läuft eine Strecke von \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} 16\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=32 \) ins Ziel, wo er in endlicher Zeit ankommt, obwohl er eine unendliche Anzahl Richtungswechsel, allerdings mit unendlich klein werdenden Zeitintervallen, absolviert.