Funktion \frac{1}{1+\frac{1}{z}} in geometrische Reihe umwandeln

Question

ich möchte folgende Funktion in eine geometrische Reihe umwandeln:

f(z) = \( \frac{1}{1+\frac{1}{z}} \) z ∈ ℂ mit \( \frac{1}{z} \) < |1|

Für eine geometrische Reihe braucht man allerdings \( \frac{1}{1-q} \)

Darf ich nun annehmen, dass die geometrische Reihe zu f(z) = \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-\frac{1}{z})^{k}} \) ist?

Answer 1

Wenn Du das so umgeschrieben hast, dann gilt das. Wenn Du geraten hast, reicht das nicht.

Überprüfe auch den Konvergenzbereich.

Comments

Was meinst du genau mit geraten?

Also \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-\frac{1}{z})^{k}} \) konvergiert, wenn \( \frac{1}{|z|} \) < 1

das passt mit meiner Angabe oben überein, dass \( \frac{1}{z} \) < 1 ist

Passt das so?

---

Du sagst "darf ich annehmen" - einfach annehmen darf man es nicht. Wenn Du es hergeleitet hast, also f(z)=Def. = ... = Dein Ergebnis, dann brauchst Du es nicht annehmen, sondern hast es nachgewiesen. Unabhängig davon, ob jemand im Internet Dir das erlaubt oder nicht.

Ein math. Ergebnis ist nicht davon abhängig, ob einer im Forum Dir recht gibt oder nicht. Aus der sauberen Herleitung ergibt sich auch sofort der Konvergenzbereich. Bisher kennen wir nur Dein Ergebnis, nicht die Herleitung.

Dann würde Dir auch auffallen, dass in der Aufgabe (hoffentlich) nicht steht \(\frac1z<|1|\). Also, lass mal Deine gesamte Lösung sehen.

---

Das waren meine Lösungsschritte.

Es ist angegeben \( \frac{1}{|z|} \) < 1 somit gilt:

| \( \frac{1}{z} \) | < 1

Für die geometrische Reihe im allgemeinen gilt \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^{k}} \) = \( \frac{1}{1-q} \) für |q| < 1

Falls -1 < q < 0 gilt:

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{q^{k}} \) =  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-1·|q|)^{k}} \) = \( \frac{1}{1+q} \)

Nun habe ich den Bruch \( \frac{1}{1+\frac{1}{z}} \) und möchte den in eine Reihe umwandeln.

Nun haben ja im Nenner + \( \frac{1}{z} \), was nun bedeuten muss, dass \( \frac{1}{z} \) negativ sein muss.

\( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(\frac{1}{z})^{k}} \) =  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{(-1·|\frac{1}{z}|)^{k}} \) = \( \frac{1}{1+\frac{1}{z}} \)

Stimmt das nun so?

---

Naja, nur von der Idee her. Auch nur akzeptabel für \(-1<q<0\), und auch nur, wenn man großzügig ist. Man kann das ganze kurz und präzise hinschreiben, wenn man geordnet vorgeht, also vorne anfängt, nicht hinten.

Also: \(\frac1{1+\frac1z}=\frac1{1-\frac{-1}z}=\sum\limits_{k=0}^\infty (\frac{-1}z)^k\), wegen geometrischer Reihe, falls \(1>|\frac{-1}z| = |\frac1z|\), wie gewünscht, fertig.

---

Vielen Dank für die Hilfe