Aloha :)
Die Fibonacci-Folge ist rekursiv definiert:$$f_1=1\quad;\quad f_2=1\quad;\quad f_{n+1}=f_n+f_{n-1}\;\;\text{für}\;\;n\ge2$$Die im Raum stehende Behauptung kannst du mit Hilfe des Summenszeichens formulieren:$$\sum\limits_{i=0}^kf_{2i+1}=f_{2k+2}\quad;\quad k=1,2,3,\ldots\in\mathbb{N}$$Zum Beweis empfehle ich vollständige Induktion.
Verankerung bei \(k=1\):
Die ersten 4 Glieder der Fibonacci-Folge sind: \(f_1=1\;;\;f_2=1\;;\;f_3=2\;;\;f_4=3\). Daher gilt:$$\sum\limits_{i=0}^1f_{2i+1}=f_1+f_3=1+2=3=f_4=f_{2\cdot1+2}=f_{2k+2}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(k\to k+1\):
$$\sum\limits_{i=0}^{k+1}f_{2i+1}=\underbrace{\sum\limits_{i=0}^{k}f_{2i+1}}_{\stackrel{I.V.}{=}\,f_{2k+2}}+\underbrace{f_{2(k+1)+1}}_{=f_{2k+2+1}}=f_{2k+2}+f_{2k+3}=f_{2k+4}=f_{2(k+1)+2}\quad\checkmark$$
Die Summe nach dem ersten Gleichheitszeichen ist nach Induktionsvorassetzung gleich \(f_{2k+2}\). Weiter ist \(f_{2(k+1)+1}=f_{2k+2+1}=f_{2k+3}\). Die beiden Fibonacci-Zahlen \(f_{2k+2}\) und \(f_{2k+3}\) ergeben in Summe gemäß der rekursiven Definition der Fibonacci-Zahlen den Wert \(f_{2k+4}\).
