Fibonacci Folge beweisen Vorgehen

Question

Text erkannt:

(b) Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) die Fibonacci Folge mit \( f_{0}=f_{1}=1 \) und \( f_{k+1}=f_{k}+f_{k-1} \) für alle \( k \in \mathbb{N} \). Zeigen Sie, dass \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{f_{k-1} f_{k+1}}=1 \) gilt. Hinweis: \( \frac{1}{f_{k-1} f_{k+1}}=\frac{f_{k}}{f_{k}} \frac{1}{f_{k-1} f_{k+1}} \).

Aufgabe:

Hallo,

Bei der obenstehenden Aufgabe weiß ich leider nicht so recht wie ich vorgehen muss. Kann mir da bitte jemand einen Ansatz geben?

LG

Comments

Wenn eine Reihensumme zu berechnen ist, sollte man immer auch an das Teleskopprinzp denken.

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Stelle eine Vermutung zum Wert von  \( 1-\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{f_{k-1} f_{k+1}} \) auf, die du durch Berechnung einiger Werte erhältst und beweise diese durch Induktion.

Answer 1

Mit dem gegebenen Hinweis kannst du die Reihe in eine Teleskopreihe umwandeln.

Nochmal kurz zur Erinnerung:

Wenn \((a_n)\) eine Zahlenfolge ist, dann gilt für \(n\in \mathbb N\):

$$\sum_{k=1}^n(a_k - a_{k+1}) = a_1 - a_{n+1}$$

Das wenden wir jetzt an:

$$\frac 1{f_{k-1}f_{k+1}}\stackrel{Hinweis}{=}\frac 1{f_k}\cdot \frac{f_k}{f_{k-1}f_{k+1}}=\frac 1{f_k}\cdot \frac{f_{k+1}-f_{k-1}}{f_{k-1}f_{k+1}}$$$$= \underbrace{\frac 1{f_k f_{k-1}}}_{=a_k} - \underbrace{\frac 1{f_{k+1} f_{k}}}_{=a_{k+1}}$$

Damit erhalten wir

$$\sum_{k=1}^n\frac 1{f_{k-1}f_{k+1}}= 1 - \frac 1{f_{n+1}f_n}\stackrel{n\to\infty}{\longrightarrow}1$$