Hallo,
ich denke, der besondere Trick liegt darin, diese Summe in zwei Teile aufzubrechen. Es ist doch$$a_{n}=1+\sum \limits_{k=0}^{n-1}(n-k) a_{k} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}_{0} \\ \phantom{a_{n}} = 1 + n\sum_{k=0}^{n-1} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k$$und damit kannst Du nun den Ausdruck für \(a_{n+1}\) wie folgt umformen$$\begin{aligned} a_{n+1} &= 1 + (n+1)\sum_{k=0}^{n} a_k \space - \sum_{k=0}^{n} k a_k\\ &= 1 + n\sum_{k=0}^{n} a_k \space + \sum_{k=0}^{n} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space - na_n \\ &= 1 + n\left( \sum_{k=0}^{n-1} a_k \space + a_n\right)\space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space - na_n + \sum_{k=0}^{n} a_k \\ &= 1 + n\sum_{k=0}^{n-1} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space + \sum_{k=0}^{n} a_k \\ &= a_n + \sum_{k=0}^{n} a_k \end{aligned}$$Bevor es weitergeht müssen wir zunächst mal einen genaueren Blick auf \(f_{2n+1}\) werfen. Allgemein gilt$$f_{n+1} = f_n + f_{n-1} $$ und somit auch $$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2(n-1)+1}$$das versuche ich nun so darzustellen, dass nur noch Terme der Form \(f_{2k+1}\) mit \(k \in \mathbb N_0\) darin vorkommen$$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2(n-1)+1} = 2f_{2(n-1)+1} + f_{2(n-1)} \\ f_{2(n-1)+1} = f_{2(n-1)} + f_{2(n-2)+1} \implies f_{2(n-1)} = f_{2(n-1)+1} - f_{2(n-2)+1} \\ \implies f_{2n+1} = 3f_{2(n-1)+1} - f_{2(n-2)+1} \\$$Ich nenne \(f_{2n+1}=g_n\), \(g_n\) ist jede zweite Fibonacci-Zahl, dann kann man festhalten:$$g_{n} = 3g_{n-1} - g_{n-2}$$Weiter möchte ich zeigen, dass$$g_{n+1} = g_{n} + \sum_{k=0}^{n} g_k$$Wieder durch Beweis mit Induktion. Der Induktionsanfang$$g_0 = f_1 = 1 \\ g_ 1 = f_3 = 2 \\ n=1: \quad g_{1+1} = g_1 + \sum_{k=0}^1 = 2 + 1 + 2 = 5\quad \checkmark$$ist erfüllt, da lt. Rekursionsvorschrift \(g_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5\) ist. Nun der Induktionsschritt, d.h. den Übergang von \(n\) nach \(n+1\)$$\begin{aligned} g_{n+2} &= 3 g_{n+1} - g_{n}\\ &= 2g_{n+1} + g_{n} + \sum_{k=0}^{n} g_k - g_n \\ &= 2g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n} g_k\\ &= g_{n+1} + \underbrace{g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n} g_k}_{=\sum_{k=0}^{n+1} g_k}\\ &= g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n+1} g_k \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned} $$und damit sind wir mit dem ersten Teil schon fertig. Es ist \(a_0=g_0\) und \(a_1=g_1\). Und für beide gilt$$a_{n+1} = a_n + \sum_{k=0}^n a_k \quad \text{bzw.} \quad g_{n+1} = g_n + \sum_{k=0}^n g_k$$D.h. \(a_k=g_k = f_{2k+1}\) für \(k \in \mathbb N_0\), die Folgen sind identisch.
Die Partialsumme ist definiert durch $$s_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k$$Aus der Rekursionsvorschrift \(g_{n} = g_{n-1} + \sum_{k=0}^{n-1} g_k = g_{n-1} + s_n\) folgt sofort$$s_n = g_{n} - g_{n-1} = f_{2n+1} - f_{2n-1}$$und wegen$$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2n-1}$$ist$$s_n = f_{2n+1} - f_{2n-1} \\ \phantom{s_n} = f_{2n} + f_{2n-1} - f_{2n-1} \\ \phantom{s_n} = f_{2n} $$Gruß Werner
