Beweisen, dass für alle n die Reihe gilt

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie, dass für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt:

$$ \sum \limits_{i=1}^{n} i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $$

Problem/Ansatz:

Kann mir vielleicht jemand eine passende Beweis-Strategie zeigen?

Answer 1

$$ \sum \limits_{i=1}^{n} i^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $$

Mit vollst. Induktion:

Für n=1 jedenfalls wahr.

wenn es für ein n stimmt, dann

$$ \sum \limits_{i=1}^{n+1} i^{3} $$

$$ = \sum \limits_{i=1}^{n} i^{3}  + (n+1)^3  $$

$$ \frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} + (n+1)^3  $$

umformen zu

$$\frac{(n+1)^{2}(n+2)^{2}}{4}$$

Answer 2

die passende Beweisstrategie wäre hier die vollständige Induktion.