Beweisen Sie per Induktion: Für alle n in N gilt

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe 2 (3 Punkte).
Beweisen Sie per Induktion: Für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt \( \frac{4}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}=\frac{3 n+5}{(n+1)(n+2)} \).

Hallo ich komme bei dieser Induktion nicht weiter. Unten sieht man meinen Ansatz, kann mir da jemand weiter helfen.

Text erkannt:

\( \frac{4}{1} \cdot \sum \limits_{k=1}^{1} \frac{1}{k \cdot(k+2)} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{1 \cdot(1+2)}=\frac{4}{3}=\frac{8}{0}=\frac{(3 \cdot 1)+5}{(1+1) \cdot(1+2)} \)
J5: \( h \rightarrow h+1 \)
\( \frac{4}{h+1} \cdot \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k \cdot(h+2)}=\frac{4}{n+1} \cdot \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k \cdot(h+2)}+\sqrt[3]{n+5}(h+1) \cdot(n+3) \)
\( \Delta v=\frac{4}{n+1} \cdot\left(\frac{3 n+5}{(n+1) \cdot(n+2)}\right)+\frac{1}{(n+1) \cdot(n+3)} \)
\( =\frac{12 n+20}{(n+1) \cdot\left(n^{2}+2 n+n+2\right)}+\frac{3 n+5}{(n+1) \cdot(n+3)} \)
\( =\frac{12 n+20}{n^{3}+2 n^{2}+n^{2}+2 n+n^{2}+2 n+n+2}+\frac{3 n+5}{(n+1) \cdot(n+3)} \)
\( =\frac{12 n+20}{n^{3}+4 n^{2}+5 n+2}+\frac{3 n+5}{n^{2}+4 n+3} \)

Answer 1

Du hast den Bruch vor der Summe bei der Ind.vor. nicht

bedacht.

Für den Ind.schritt betrachtest du besser die Gleichung

\( \frac{4}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}=\frac{3 n+5}{(n+1)(n+2)} \)

<=> \( \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}=\frac{n \cdot (3 n+5)}{4(n+1)(n+2)} \)

Dann geht es wohl so:

\( \sum \limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k(k+2)} =  \frac{1}{(n+1)(n+3) } +  \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} \)

mit der Ind.annahme gibt das

\(  =  \frac{1}{(n+1)(n+3) } +  \sum \limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)}=   \frac{1}{(n+1)(n+3) } +\frac{n \cdot (3 n+5)}{4(n+1)(n+2)} \)

und es bleibt zu zeigen, dass dies das gleiche ist wie

\( \frac{(n+1) \cdot (3 n+8)}{4(n+2)(n+3)} \)

Und das passt: \(  \frac{1}{(n+1)(n+3) } +\frac{n \cdot (3 n+5)}{4(n+1)(n+2)} \)

\(    = \frac{4(n+2)}{4(n+2)(n+1)(n+3) } +\frac{n \cdot (3 n+5)(n+3)}{4(n+1)(n+2)(n+3)} \)

\(    = \frac{3n^3 + 14n^2 + 19n +8 }{4(n+2)(n+1)(n+3) } \)

\(    = \frac{(3n^2 + 11n +8)(n+1) }{4(n+2)(n+1)(n+3) } \)

Und das n+1 kürzen .