Aloha :)
Ich empfehle, zunächst die Summe wie folgt umzuformen:
$$S_n:=\sum\limits_{l=1}^n\binom{n+k-l}{k}=\sum\limits_{l=1}^n\binom{k+(n-l)}{k}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{k}$$$$\phantom{S_n}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{(k+i)-k}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{i}$$Da \(l\) von \(1\) bis \(n\) läuft, läuft \((n-l)\) von \((n-1)\) runter bis auf \(0\). Durch Einführung der Lauffavirablen \(i\) werden die Summanden in der Summe zwar von rechts nach links geschrieben, aber der Wert der Summe bleibt ungeändert. Nach dieser Umformung geht die Induktion recht schnell.
Verankerung bei \(n=1\):
$$S_n=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{i}=\sum\limits_{i=0}^{1-1}\binom{k+i}{i}=1=\binom{1+k}{k+1}=\binom{n+k}{k+1}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
$$S_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{(n+1)-1}\binom{k+i}{i}=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{k+i}{i}=\binom{k+n}{n}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{k+i}{i}$$$$\phantom{S_{n+1}}\stackrel{I.V.}{=}\binom{k+n}{(k+n)-n}+\binom{n+k}{k+1}=\binom{n+k}{k}+\binom{n+k}{k+1}=\binom{n+1+k}{k+1}$$
