Wie berechne ich den Wert a einer Funktion 3. Grades?

Question

Aufgabe:

Ich habe die Funktion f(x) = 1/8(x³ - 12 x + a) und soll den Wert a ermitteln, mit dem die Funktion die X-Achse im 1. Quadranten berührt.

Problem/Ansatz:

Bittel eine verständliche Erklärung für den Lösungsweg, danke.

Comments

Die Lösung wäre 16.

Answer 1

\(f(x) = \frac{1}{8}  *(x^3 - 12 x + a)\)

\(f´(x) = \frac{1}{8} * (3x^2 - 12 )\)

\(\frac{1}{8} * (3x^2 - 12 )=0\)

\( x^2=4\)  → \(x₁=2\)   ∨   \(x₂=-2\)

\(f´´(x) = \frac{1}{8} * (6x  )\)

\(f´´(2) = \frac{1}{8} * (6*2  )>0→Minimum\)

Somit berührt der Graph bei \(x₁=2\) die x-Achse im 1. Quadranten.

\(f(2) = \frac{1}{8}  *(8 - 24 + a)\)

\(\frac{1}{8}  *(8 - 24 + a)=0\)

\(a=16\)

\(f(x) = \frac{1}{8}  *(x^3 - 12 x + 16)\)

Answer 2

Die Funktion hat (für jedes a) die gleiche leicht zu ermittelnde Minimumstelle.

Wenn du diesen x-Wert hast, musst du a so anpassen, dass y=0 gilt.

Answer 3

Statt \(f(x)\) kann man \(g(x)=8f(x)\) betrachten, da \(g\) bzgl. der Fragestellung

nach \(a\) dieselben Eigenschaften hat. Ist \(x_0\) die Berührungsstelle,

dann gilt \(g(x_0)=g'(x_0)=0\) (doppelte Nullstelle).

\(g'(x_0)=3x_0^2-12 = 0 \wedge x_0\geq 0\Rightarrow x_0=2\), folglich

\(0=g(2)=8-24+a\Rightarrow a=16\).