Integral mit vorgegebener Fläche und zwei Unbekannten

Question

Ich bräuchte dringen eure Hilfe bei folgendem Beispiel, weil ich nicht einmal weiß, wie ich beginnen soll:

Ich soll den Graphen f(x)=1/c *x^5 - c*x^3 skizzieren. Dann soll ich c bestimmen, damit dieser Graph mit der x-Achse eine Fläche von A=32/3 einschließt. Abschließend soll ich die Integrationsgrenzen angeben.

Ich weiß zwar, dass die Funktion punktsymmetrisch ist, d.h. dass ich unter Umständen die Fläche in zwei gleich große Teilflächen aufsplitten kann. Dadurch hätte ich von der einen Teilfläche die Integrationsgrenze 0 -> ich brauche nur noch die vorherige (x1). Auf der anderen Seite könnte ich dann die Grenze von 0 bis -x1 nehmen. Mir bereitet aber die Unbekannte c Probleme.

Ich danke euch schon im Voraus für eure Hilfe!

Answer 1

f(x) = 0

x^3·(x + c)·(x - c)/c = 0

Nullstellen sind also bei 0 (dreifach) und bei ± c

F(x) = x^6/(6·c) - c·x^4/4

F(c) = - c^5/12 = - 16/3 --> c = 2·2^{1/5}

Gehen würde auch das entsprechende c mit negativem Vorzeichen.

Answer 2

Hi, für positive c gilt dies:

$$  f(x) = \frac { 1 }{ c } \cdot x^5 - c\cdot x^3 = \frac { 1 }{ c } \cdot x^3\cdot \left( x + c \right)  \left( x - c \right) $$