Mit Integral Stammfunktion berechnen? ∫ 2x^2-2dx

Question

Wie erh'lt man aus diesen Integralen eine Stammfunktion? Und welche Besonderheit hat das letzte Integral?

1. \( \int \limits_{0}^{4} 2x^2 - 2dx \)

2. \( \int \limits_{0}^{2} 2x^2 - 2dx \)

3. \( \int \limits_{2}^{4} 2x^2 - 2dx \)

Answer 1

Aloha :)

Eine Stammfunktion erhältst du, indem du bei jeder Potenz den Exponent um 1 erhöhst und anschließend durch den neuen Exponenten dividierst, d.h.$$f(x)=2x^2-2=2x^2-2x^0\quad\Rightarrow\quad$$$$F(x)=2\,\frac{x^3}{3}-2\,\frac{x^1}{1}+\text{const}=\frac{2}{3}x^3-2x+\text{const}$$Damit kannst du die Integrale bestimmen:$$\int\limits_0^4f(x)\,dx=F(4)-F(0)=\frac{104}{3}-0=\frac{104}{3}$$$$\int\limits_0^2f(x)\,dx=F(2)-F(0)=\frac{4}{3}-0=\frac{4}{3}$$Das letzte Integral ist die Differenz der beiden vorigen:$$\int\limits_2^4f(x)\,dx=F(4)-F(2)=\frac{104}{3}-\frac{4}{3}=\frac{100}{3}$$oder auch$$\int\limits_2^4f(x)\,dx=\int\limits_0^4f(x)\,dx-\int\limits_0^2f(x)\,dx$$$$\quad\quad\quad\quad\;\;=\left[F(4)-F(0)\right]-\left[F(2)-F(0)\right]=F(4)-F(2)$$