Substitution Unbestimmter integrale ∫(1/2x+1)^2dx

Question

Aufgabe: Berechnung unbestimmter Integrale

Problem/Ansatz:

∫(1/2*x+1)^2 dx, das ist der unbestimmte integral und ich verstehe nicht wie ich unter Verwendung der linearen Substitutionsregel den Integral ausrechnen soll. Ich sitze seit Stunden an dieser Aufgabe, ich hoffe jemand kann mir dies erklären. Schonmal danke!!!

Answer 1

∫ (1/2 * x + 1)^2 dx

= ∫ 2 * 1/2 * (1/2 * x + 1)^2 dx

= 2 * ∫ 1/2 * (1/2 * x + 1)^2 dx

wenn jetzt also z = 1/2 * x + 1 und z' = 1/2 wäre, würde dort stehen

= 2 * ∫ z' * z^2 dx

dann wäre die Stammfunktion aber recht einfach

= 2 * 1/3 z^3

Also setzen wir dort nur wieder ein:

= 2 * 1/3 * (1/2 * x + 1)^3 + C

= 2/3 * (1/2 * x + 1)^3 + C

Comments

Danke aber ich verstehe bei dem ersten Schritt nicht, warum man mal 2 und mal 1/2 rechnet. Warum macht man das?

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Das muss man nicht machen. Das war ein Service von mir damit du siehst das man nach der inneren Ableitung außerhalb als Faktor suchen muss.

Daher hatte ich doch auch 1/2 durch z' ersetzt.

Answer 2

Du musst hier gar nicht substituieren; es gilt

$$ \int f(ax+b) dx = {1\over a} F(ax+b) $$

Das ist eine Regel, die Du können musst.