Berechnung unbestimmter Integrale mit Wurzel

Question

Was ist hier der Rechenweg?

Die Wurzel macht mir angst

$$\int 2\cdot \sqrt { 2 x + 1 } \text{ d} x$$

Comments

Hi, ich habe das unbestimmte Integral mal im Formelsatz unten angefügt.

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Die Wurzel macht mir angst

Ist nicht so schlimm wie Wurzelziehen beim Zahnarzt ;)

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Vgl. auch d) hier https://www.mathelounge.de/267261/berechnung-unbestimmter-integrale-bsp-2-2x-1-dx

Answer 1

Die Wurzel macht mir angst

Du bist nicht beim Zahnarzt, Wurzelbehandlungen sollten dir keine Angst machen.

Wandle die Wurzel in eine Potenz um und wende die Substitution z = 2x+1 an.

Answer 2

Substituiere \(k=2x+1\) und schreibe\(2\) vor das Integral (Faktorregel):$$2\int_{}^{}\sqrt{k}$$ Dann wende die Potenregel \(\int \! x^n \, \mathrm{d}x = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C\). Erinnere dich hierbei daran, dass \(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\) gilt:$$2\cdot \int_{}^{}\frac{2}{3}k^{\frac{2}{3}}$$Nun Substitution auflösen:$$2\cdot \left( \frac{2}{3}(2x+1)^{\frac{2}{3}}\right)+C$$

Comments

Vielleicht solltest du die jeweiligen Differentiale dazu schreiben und eine konsistente Rechnung daraus machen?

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$$\int 2\cdot \sqrt { 2 x + 1 } \text{ d} x$$$$=2\int \sqrt { 2 x + 1 } \text{ d} x \quad |k=2x+1$$$$=2\int \sqrt {k} \text{ d} x$$$$=2\int k^{\frac{1}{2}} \text{ d} x$$$$=2\cdot \left( \frac{2}{3}k^{\frac{2}{3}}\right)+C$$$$=2\cdot \left( \frac{2}{3}(2x+1)^{\frac{2}{3}}\right)+C$$$$= \frac{4}{3}(2x+1)^{\frac{2}{3}}+C$$

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Bevor du integrierst, muss das richtige Differential im Integral stehen. Eine Mischung von Variable k und Differential dx geht nicht wirklich.

Umrechnung für die Differentiale

k = 2x + 1

dk/dx = 2

dk/ 2 = dx

D.h. dx durch dk/2 ersetzen.

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Ah stimmt... Danke, das kommt davon, wenn man es noch nie in der Schule hatte...

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Danke, das kommt davon, wenn man es noch nie in der Schule hatte...

Jetzt weißt Du es ja ;-) An solchen Kleinigkeiten merkt man aber, ob man es wirklich verstanden hat oder nach Rezepten kocht. War aber vermutlich nur ein Tippfehler, oder?

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Ich habe da einfach nicht drauf geachtet und \(dx\) aus Routine geschrieben.

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Dachte ich mir schon ...

Answer 3

Allgemein gilt für eine mit Stammfunktion \(F\) integrierbare Funktion \(f\): $$\int{f(ax+b)\text{ d}x} = \dfrac 1a\cdot F(ax+b) + C$$Dies ist in der Oberstufe bereits bekannt, bevor "Integration durch Substitution" behandelt wird. Es ist eine einfache Umkehrung der Kettenregel der Differentialrechnung.

Hier angewendet erweist sich das vorgelegte Integral als Kopfrechenaufgabe, wenn wir $$\int\sqrt{x}\text{ d}x=\dfrac 23\cdot\sqrt{x^3}+C$$als bekanntes Grundintegral voraussetzen. Es ist dann:

$$\int 2\cdot \sqrt { 2 x + 1 } \text{ d} x = \dfrac 23\cdot \sqrt { \left(2 x + 1\right)^3 } + C$$