0 Daumen
1,2k Aufrufe

Aufgabe:

In einer schwäbischen Kleinstadt findet jährlich ein Rennen mit getunnten Bobbycars statt .Ein vergleichbarer Verlauf des Rennens kann nahrungsweise durch die Funktion f mit f(t)=0,0003t4-0,024t3+0,605t2 angegeben werden ,wobei 0 ≤t ≤40 die Zeit in Sekunden ist ,f(t) die zurückgelegten Meter .



a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbycar seine Höctgeschwindigkeit ?

b) Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit in der zweiten Hälfte des Rennens.Geben Sie sie in km/h an.

c) Betrachten Sie den Graphen der Ableitungsfunktion .Nach wie viel Metern hat die Strecke vermutlich ihre schärfste Kurve ?


Problem/Ansatz:


Wie kann man das ohne zweite Ableitung lösen? Wir hatten die noch nicht. Ich habe eine Lösung bekommen aber verstehe die nicht (Handschriftlich)


Avatar von

2 Antworten

0 Daumen

b) nach 20 sec sind 98 m zurückgelegt und nach 40 sec 200.

Also 102 m in 20 sec gibt v = 102/20 m/s = 5,1 m/s = 0,0051 km in 1 s

das wären 5,1 m * 3600 =18360 m   in einer Stunde also 18,36 km/h.

Avatar von 289 k 🚀

Ja, davor hatte ich mich gedrückt, weil die 2. Hälfte sich ja auf die Länge bezieht. Und das wird richtig kompliziert, wenn wir berechnen wollen, zu welcher Zeit  wir die Hälfte der Strecke erreichen.

Es macht aber kaum einen Unterschied, für die ersten 100 Meter benötigen sie 20,40 s

100 m / 19,60 s = 5,102 m/s

5,102 *3,6 =18,367 km/h

Es hat sich also nicht wirklich gelohnt genau zu rechnen.

Genauer gesagt habe ich rechnen lassen, mit

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynome.htm

0 Daumen

"die Funktion f mit f(t)=0,0003t4-0,024t3+0,605t2 angegeben werden ,wobei 0 ≤t ≤40 die Zeit in Sekunden ist ,f(t) die zurückgelegten Meter ."

Mit a=0,0003 , b=  0,024 und c= 0,605

steht da f(t) = a*t^4 - b * t³ + c * t²= Weg

f'(t) = 4a*t³ -3b*t² + 2c*t = Geschwindigkeit

Bei der zweiten Ableitung musst du die erste Ableitung nochmal ableiten.

f" (t)= 3*4a*t² - 2*3bt + 2c Beschleunigung

Jetzt leiten wir die zweite ab und bekommen die dritte Ableitung.

f''' (t) = 2*3*4 *a *t - 2*3*b

Die Ableitung zu bilden wird also immer einfacher

Jetzt fangen wir an.

a) Zu welchem Zeitpunkt erreicht das Bobbycar seine Höctgeschwindigkeit ?

Dazu müssen wir die Ableitung der Geschwindigkeit nehmen und gleich Null setzen. Das ist aber die Beschleunigung

f" (t)= 3*4a*t² - 2*3bt + 2c=0

f" (t)= 12*a*t² - 6* bt + 2*c=0

wie setzen die Werte für a,b,c ein

a=0,0003 , b=  0,024 und c= 0,605 

f" (t)= 0,0036*t² - 0,144* t + 1,21 =0

Wir teilen durch 0,0036

t²- 40 t + 336,1111 =0

t₁ = 20 + \( \sqrt{400-336,1111} \)


t₁ = 20 +7,993 =27,993 sec

t₂ = 20 - 7,993 = 12,007 sec

Die Werte setzen wir in f''" (t) ein

f''' (27,993) = 0,0072 *t - 0,144 = 0,0575

f''' (12,007) = 0,0072 *t - 0,144 = - 0,0575

Das bedeutet, nach 12,007 sec erreichen wir die Höchstgeschwindigkeit ( Maximum)

Nach 27,993 sec ein lokales Minimum

Avatar von 11 k

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community