Funktion 3. Grades. Funktionsterm bestimmen. 2 Punkte gegeben.

Question

Aufgabe:

Der Graph f mit f(x)= ax³ + 2x² +cx + 1 verläuft durch die Punkte A(1|8) und B(-2 | -13). Bestimmen Sie den Funktionsterm f(x).

Answer 1

Hallo Moritz,

wenn dort steht, dass die Funktion $f(x)$ durch den Punkt $A(1|8)$ verläuft, so heißt das, dass wenn man für $x$ den Wert $1$ einsetzt, die Funktion $f(1)$ den Wert $8$ liefert. Also $$f(1) = 8$$Und die Funktion ist als Polynom 3.Grades gegeben, so brauchst Du das nur einsetzen:$$f(1) = a \cdot 1^3 + 2 \cdot 1^2 + c \cdot 1 + 1 = 8$$Das kann man vereinfachen zu$$\begin{aligned} a + 2 + c + 1 &= 8 && \left| \, -3\right. \\ a + c &= 5\end{aligned}$$Genauso mache ich es mit denm Punkt $B(-2|-13)$:$$\begin{aligned} f(-2) = a \cdot (-2)^3 + 2 \cdot (-2)^2 + c \cdot (-2) + 1 &= -13 \\ -8a + 8 - 2c + 1 &= -13 &&\left| \, -9\right. \\ -8a -2c &= -22 &&\left| \, \div 2\right. \\ -4a - c &= -11\end{aligned}$$Jetzt liegen zwei Gleichungen $$\begin{aligned} a+c&= 5 \\ -4a - c &= -11\end{aligned}$$ mit den zwei Unbekannten $a$ und $c$ vor. In diesem Fall könnte man das gut lösen, indem man die Gleichungen addiert, da dann die Variable $c$ raus fällt. Es ist dann $$-3a = -6 \implies a = 2$$Einsetzen in eine der beiden obigen Gleichugen liefert $c=3$. Die Funktion ist also$$f(x) = 2x^3 + 2x^2 + 3x +1$$Der Plot

Plotlux öffnen

f₁(x) = 2x³+2x²+3x+1P(1|8)P(-2|-13)Zoom: x(-3…3) y(-15…12)

mit der Funktion und den Punkten $A$ und $B$ zeigt, dass das Ergebnis sinnvoll ist.

Gruß Werner

Comments

Dankeschön ist ja gar nicht so schwer. Mein Hauptproblem ist immer dass ich nicht weiß ich vor gehen soll da ich nie weiß wann ich welche Verfahren anwenden soll gibt es da einen Trick oder ist es einfach nur Übung

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da ich nie weiß wann ich welche Verfahren anwenden soll gibt es da einen Trick?

Der Trick besteht darin, zu verstehen, was eine Funktion und was ein Punkt und was ein Koordinatensystem ist. Ein Verfahren benötigt man hier doch gar nicht. Üben hilft sicher, um das Verständnis zu verbessern.

Doch noch ein Tip: KEINEN graphischen Taschenrechner benutzen, sondern Papier und Bleistift ;-)