h0 : p = 0.25
h1 : p < 0.25
P(fehler erster art) ≤ 0.03 ⇔
PH0(entscheidung für h1) ≤ 0.03 ⇔
P(X ≤ K) ≤ 0.03 für n = 110 und p = 0.25 ⇔
F(110; 0.25; K) ≤ 0.03
gesucht ist also das K für die entscheidungsregel.
entweder, wir generieren eine tabelle einer kumulierten binomialverteilung
http://www.cornelsen.de/teachweb/1.c.2711436.de
und lesen den wert ab:
auszug aus generierter tabelle mit den parametern n = 110 und p = 0.25
.
.
.
15 0.0027
16 0.0056
17 0.011
18 0.0203
19 0.0353
20 0.058
21 0.0906
22 0.1344
23 0.1903
.
.
.
abgelesener wert: K = 18
damit haben wir K bestimmt und können die entscheidungsregel formulieren:
K ≤ 18 ⇒ entscheidung für H1
K > 18 ⇒ entscheidug für H0.
haben also nicht mehr als 18 autos aus einer stichprobe von 110 autos eine blaue farbe,
können wir mit einer irrtumswahrscheinlichkeit von 3% davon ausgehen, dass weniger als
25% aller autos der grundmenge eine blaue farbe haben.
falls ihr die tabelle mit den summierten wahrscheinlichkeiten nicht selbst erstellen
dürft, kann man das K mit hilfe der normalverteilung bestimmen.
wir testen erstmal, ob wir die näherungsformel von laplace und de moivre benutzen
dürfen:
μ = np = 110*0.25 = 27.5
σ² = np(1-p) = 27.5*0.75 = 20.625 > 9
σ ≈ 4,5415
oben hatten wir:
P(X ≤ K) ≤ 0.03 für n = 110 und p = 0.25 ⇔
F(110; 0.25; K) ≤ 0.03
und weil die laplace bedingung σ² > 9 erfüllt ist, dürfen wir die näherungsformel von laplace
und de moivre benutzen, damit gilt:
F(110; 0.25; K) ≈ Φ(z) ≤ 0.03 mit z = (K - μ + 0.5)/σ
das zugehörige z suchen wir uns aus einer tabelle(standardnormalverteilung) heraus,
dann stellen wir die gleichung nach K um und berechnen das K.
hat man eine tabelle mit negativen z-werten zur hand,
http://psydok.sulb.uni-saarland.de/volltexte/2004/268/html/zvert.htm
kann man das z direkt ablesen: z = -1.89
das ist aber nicht immer der fall. in manchen lehrbüchern gibt es nur tabellen mit
positiven z-werten. meine tabelle geht z.b. nur von z = 0 bis z = 3.49 wobei
Φ(0) = 0.5 und Φ(3.49) = 0,9998 sind.
der gesuchte wert 0.03 ist nicht dabei.
in diesem fall kann man sich folgendermaßen behelfen, wir wissen:
Φ(-z) = 1 - Φ(z)
suchen wir also einen wert aus der tabelle mit Φ(z) > 0.97, z.b.
Φ(1.89) = 0.9706, erhalten wir
Φ(-1.89) = 1 - Φ(1.89) = 1 - 0.9706 = 0.0294 < 0.03
damit haben wir das gesuchte z gefunden: z = -1.89
jetzt können wir eeendlich das K berechnen.
z = (K - μ + 0.5)/σ
z ≤ -1.89
(K - μ + 0.5)/σ ≤ -1.89
K ≤ -1.89σ + μ - 0.05
K ≤ -1.89*4.5415 + 27.5 - 0.05
K ≤ 18.42 ⇒ K = 18
die entscheidungsregel bleibt natürlch dieselbe, die haben wir oben bereits formuliert.
