Tangentengleich an Ellipse mit dem Richtungsvektor (1|3) und ell: 3x^2+8y^2=200

Question

Aufgabe:

ich habe ein Ellipsenproblem..- ell: 3x^2+8y^2=200, g=(1|3)

Problem/Ansatz:

Man soll eine Tangentengleichung an die Ellipse aufstellen ,nur komme ich nicht weiter...Die Steigung des Richtungsvektors ist k=3/1, das weiß ich, aber wie verfahre ich weiter?

Vielen Dank im Voraus...

Answer 1

Hallo

1. Weg: Steigung der Tangente  m=3 also y=3x+b mit der Ellipse schneiden, darf nur einen Schnittpunkt geben.

2. Du kennst die Ellipsentangente im Punkt (xt,yt)

3x*xt+8y*yt=200 daraus die Steigung  und die =3 ergibt xt.

Gruß lul

Answer 2

Tangente:

        t(x) = mx + b

Die Steigung des Richtungsvektors ist k=3/1

(1)        y = 3x + b

Stelle die Ellipsengleichung nach y um. Du bekommst dadurch zwei Gleichungen (2) und (3).

Bestimme b so, dass das Gleichungssystem (1), (2) nur eine einzige Lösung für x und y hat.

Bestimme b so, dass das Gleichungssystem (1), (3) nur eine einzige Lösung für x und y hat.

Answer 3

Richtungsvektor:\( \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} \) ergibt \(V(1|3)\) Ursprungsstrahl durch V:

\(y=3x\) schneidet die Ellipse e: \(3x^2+8y^2=200\)  in

\(3x^2+8 \cdot 9x^2=200\)

\(75x^2=200\)

\(x=2 \sqrt{\frac{2}{3}} \)    \(y=6\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Steigung der Tangente:

\(e(x,y)=3x^2+8y^2-200\)

\(e_x(x,y)=6x\)

\(e_y(x,y)=16y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{3x}{8y}\)

\(e'(2 \sqrt{\frac{2}{3}})=-\frac{6\sqrt{\frac{2}{3}}}{8 \cdot 6\sqrt{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{8}\)

Tangentengleichung:

\( \frac{y-6\sqrt{\frac{2}{3}}}{x-2 \sqrt{\frac{2}{3}}}=-\frac{1}{8} \)

\(y-6\sqrt{\frac{2}{3}}=-\frac{1}{8}x+\frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\)

\(y=-\frac{1}{8}x+\frac{25}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Comments

Deine witzige Tangente hat aber nicht den Richtungsvektor (1;3) sondern den Richtungsvektor (8 ; -1).

Zum Glück beantwortest du meist alte Fragen, die sowieso keinen mehr interessieren.

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Dann wäre wohl folgende Zeichnung die richtige Lösung. So lernt man immerhin etwas Neues dazu!

Jetzt ist mir auch die Vorgehensweise bei dieser Art von Aufgaben klar.

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Verbesserung:

Durch den Richtungsvektor\( \begin{pmatrix} 1\\3 \end{pmatrix} \)  beträgt die Steigung der Tangente \(m=\red{3}\)

\(e(x,y)=3x^2+8y^2-200\)

\(e_x(x,y)=6x\)

\(e_y(x,y)=16y\)

\(e'(x)=-\frac{e_x(x,y)}{e_y(x,y)}=-\frac{3x}{8y}\)

\(\red{3}=-\frac{3x}{8y}\)

Die Gerade \(y=-\frac{1}{8}x\) schneidet  \(3x^2+8y^2=200\) in den beiden Beührpunkten der Tangenten.

\(3x^2+8\cdot \frac{1}{64}x^2=200\)

\(x_1=-8\)      \(y_1=1\)

\(x_2=8\)      \(y_2=-1\)

Tangentengleichungen:

t_1:\(y=3x+25\)

t_2:\(y=3x-25\)