Länge der Höhe eines Dreiecks berechnen.

Question

Hallo ihr lieben,

die Aufgabe lautet:

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit A(2/1), B(10/5) und C(3/6,5).
a) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks ABC.
b) Bestimmen Sie die Länge der Höhe h_c zeichnerisch und rechnerisch.

Also: Aufgabe a) habe ich schon gelöst mit der Formel: P₁,P₂=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²
AB= 8,94
BC= 7,16
AC= 5,59

Aber wie berechne ich jetzt Aufgabe b)?

 

Answer 1

Nun, wenn ihr die Sinusfunktion und den Kosinussatz schon kennt und benutzen dürft, dann (der Winkel alpha liegt bei Punkt A):

Bezeichnet man den Fußpunkt der Höhe h_c mit F, so ist das Dreieck AFC ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei F.

h_c ist in diesem Dreieck Gegenkathete des Winkels alpha (der liegt bei Punkt A). Die Seite AC ist Hypotenuse. Daher gilt:

sin ( alpha ) = h_c / AC

<=> h_c = AC * sin ( alpha )

Um den noch unbekannten Winkel alpha zu erhalten, kann man den Kosinussatz verwenden:

BC ² = AB ² + AC ² - 2 * AB * AC * cos ( alpha)

<=> cos ( alpha ) = ( BC ² - AB ² - AC ² ) / ( - 2 * AB * AC )

<=> alpha = arcsin ( ( BC ² - AB ² - AC ² ) / ( - 2 * AB * AC ) )

(EDIT: Die vorstehende Zeile ist falsch. Hier muss natürlich die arccos-Funktion verwendet werden.)

Den so berechneten Winkel alpha setzt man in die oben fett gesetzte Formel ein und kann so die gesuchte Höhe h_c berechnen.

Zur Kontrolle:

Mit den von dir berechnten Seitenlängen erhalte ich: h_c = 3,35 cm.

(EDIT: Folgefehler. Richtig ist: h_c = 4,47 cm)

Comments

ok ja. aber ich habe 4,47cm raus :/

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cos (alpha) = 0,5993 = 53,18°

h_c= AC · sin (alpha)

h_c=5,59 · sin(53,18)

h_c= 4,47 cm

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Du hast richtig gerechnet.

In meinen Ausführungen ist ein Fehler: Ich habe zur Bestimmung von alpha versehentlich die arcsin-Funktion anstelle der arccos-Funktion verwendet.

Ich habe es in meinem Beitrag korrigiert.