Funktionenschar: Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte bestimmen. fk(x) = e^x + k*e^{-x}

Question

Die Aufgabenstellung ist:

Berechne zur Funktion \( f ^ { k } ( x ) = e ^ { x } + k e ^ { - x } \) Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.

Als erstes habe ich die Ableitungen gebildet (sind die richtig?):

$$ \begin{array} { l } { f ^ { \prime k } ( x ) = e ^ { x } - k e ^ { - x } } \\ { f ^ { \prime \prime k } ( x ) = e ^ { x } + k e ^ { - x } } \\ { f ^ { \prime \prime \prime k } ( x ) = e ^ { x } - k e ^ { - x } } \end{array} $$

Hier die Rechnung zum Bestimmen der Nullstellen:

$$ \begin{array} { l } { \rightarrow \text {Nullstellen} \quad \left( f ^ { \prime } ( x ) = 0 \right) : } \\ { f ^ { \prime } ( x ) = e ^ { x } + k e ^ { - x } } \\ { 0 = e ^ { x } + k e ^ { - x } \quad / - e ^ { x } } \\ { - e ^ { x } = k e ^ { - x } } \end{array} $$

So, ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter.

Könnt ihr mir helfen?

Comments

k ist vermutlich eine natürliche Zahl, eventuelle eine ganze? Bedeutet eindeutig nicht k-te Ableitung. Kann man eher als f_k^' schreiben. oder?

Um die Nullstellen zu berechnen musst du f(x) = 0 setzen nicht f ' (x). Das machst du eigentlich dann auch und bemerkst, dass es keine Lösung gibt, da e^x nie Null und schon gar nicht negativ wird.

Du kannst ja mal e^x rechnen und bekommst

- e^{2x} = k

e^{2x} = -k          hat für positive Werte von k keine Lösung. Also keine Nullstellen und keine Wendestellen.

Nur für negative k wäre 2x = ln(-k), d.h. x = 0.5 ln(-k)  ist dann eine Nullstelle und eine Wendestelle.

Für positive k gibt' dafür Extremalstellen.

Kommst du so selbst weiter?

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Also es ist nicht die k-te Ableitung gemeint. Ich weiß nur nicht, wie man das mit dem 'k' unter dem 'f' schreibt ;-)

Nein, ich komme leider nicht weiter. Ich habe doch die Normalfunktion =0 gesetzt, dass war leider ein Tippfehler. Aber ich verstehe nicht, was ich jetzt als nächstes machen muss?

Kannst du mir da helfen?

Und was meinst du damit:

$$ \begin{array} { l } { - e ^ { 2 x } = k } \\ { e ^ { 2 x } = - k } \end{array} $$

Und wie komme ich dann auf das mit dem 'ln'?

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Wenn du eine Unbekannte im Exponenten hast, benutzt du den Logarithmus, um diese auszurechnen bzw. "von oben herunterzuholen". Für das Beispiel:

e^2x = -k

ln( e^2x ) = ln(-k)

2x * ln( e ) = ln(-k)

2x * 1 = ln(-k)

2x = ln(-k)  |:2

x = ln(-k) : 2
x = 0.5 * ln(-k)

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Ich hab jetzt mal ohne Gewähr eine Lösung eitergemacht in der Annahme, dass du k aus Z (ganze Zahlen) hast. Da gibt es eine Fallunterscheidung für k positiv und k negativ.

k=0 ist uninteressant wäre nur e^x, da gibt's gar nichts. keine NS, Extrema, Wendepunkte.

Answer 1

Um die Nullstellen zu berechnen musst du f(x) = 0 setzen nicht f ' (x). Das machst du eigentlich dann auch und bemerkst, dass es keine Lösung gibt, da e^x nie Null und schon gar nicht negativ wird.

Du kannst ja mal e^x rechnen und bekommst

- e^{2x} = k

e^{2x} = -k          hat für positive Werte von k keine Lösung. Also keine Nullstellen und keine Wendestellen.

Exkurs: Den Logarithmus verwendet man, um einen Exponenten zu bestimmen, wenn man die Basis und das Resultat einer Potenzierung kennt.

Im Taschenrechner TR gib's den Logarithmus zur Basis 10, den LOG, und den Logarithmus zur Basis e, den LN.

10^x = 10000       Für einen einfachen TR ist die Eingabe 10'000 LOG = 4 = x   Probe vorn 4 einsetzen

heisst: 10^log(10'000) = 10'000

e^x = 30                 analog                     eingeben 30 LN = 3.4012           Probe: einsetzen.

heisst e^{ln 30} = 30      unten bei den Extremalwerten wichtige Vereinfachung e^{ln y} = y

3^x = 9000           Eingabetrick           9000 LOG / 3 LOG oder 9000 LN / 3 LN       = 8.2877 Probe: einsetzen

Nur wenn k gemäss Definition auch negativ sein kann. Z. B. k aus Z

Nur für negative k wäre wegen e^{2x} = -k  

2x = ln(-k), d.h. x = 0.5 ln(-k) ist dann eine Nullstelle und eine Wendestelle.

Für die Wendepunkte gilt W(o.5 ln(-k) | 0)

Für positive k gibt's dafür Extremalstellen. Die man analog berechnen kann.

e^x = k e^{-x}

e^{2x} = k

2x = ln(k)

x = 0.5 ln(k)

y dazu y = e^x + k e^{-x} =

=e^{0.5 ln(k)}      + k e^{-0.5 ln(k)}   | Potenzgesetz: 0.5 und - 0.5 rausnehmen

=(e^ln(k))^0.5 + k (e^ln(k))^-0.5

= k^0.5 + k * k^{-0.5}

= 2 k^0.5

= 2 √k

Extrema von f ^k sind in P(o.5*ln(k) / 2 √k)