Wie zeigt man, dass f(x₁,x₂) stetig ist?

Question

Sei \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R},\)$$f(x)=f(x_1,x_2)=\begin{cases}\sqrt{2}|x_2|-|x|_2 \quad x_1<x_2 ; \\ |x|_2 -\sqrt{2}|x_1| \quad x_1\geq x_2\end{cases}$$ Man soll nun zeigen, dass \(f\) stetig ist. Dabei ist der  Tipp gegeben, sich an folgender Aussage zu orientieren:

Tipp:

Es sei \((X,d)\) ein metrischer Raum mit \(X=A_1\cup A_2\) und \(f: X\to Y\) eine Abbildung, wobei \(Y\) ein weiterer metrischer Raum ist.

Sind \(A_1,A_2\) abgeschlossen und ist \(f|_{A_{i}}: A_i \to Y\) stetig, so ist auch \(f\) stetig.

Übrigens \(|x|_2\) im Sinne der p-Norm. Ich komme mit der Aufgabe gar nicht zurecht. Ich vermutete, dass man jeweils \(A_1:=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 : x_1<x_2\}\) und \(A_2:=\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1\geq x_2\}\) betrachten solle, aber sind diese Mengen überhaupt abgeschlossen???

Answer 1

\(A_1:=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 : x_1<x_2\}\) und \(A_2:=\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1\geq x_2\}\)

sind nicht beide angeschlossen, denn das Komplement von A1 ist nicht offen, da alle Punkte

(a,a) zum Komplement gehören, aber in jeder ε-Umgebung eines (a;a) z.B.

der Punkt (a-ε/2,a ) ist , der in A1 liegt.  Besser wäre wohl die Aufteilung in

\(A_1:=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 : x_1\leq x_2\}\) und \(A_2:=\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1\geq x_2\}\)

denn für x1 = x2 stimmen ja die beiden Zeilen der Def. der Funktion überein, es

ergibt sich immer 0; denn für z.B. (a;a) hast du

$$\sqrt{2}|x_2|-|x|_2 \quad =\sqrt{2}|a|-\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}|a|-\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}|a|-\sqrt{2}|a|=0 $$