\(A_1:=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 : x_1<x_2\}\) und \(A_2:=\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1\geq x_2\}\)
sind nicht beide angeschlossen, denn das Komplement von A1 ist nicht offen, da alle Punkte
(a,a) zum Komplement gehören, aber in jeder ε-Umgebung eines (a;a) z.B.
der Punkt (a-ε/2,a ) ist , der in A1 liegt. Besser wäre wohl die Aufteilung in
\(A_1:=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2 : x_1\leq x_2\}\) und \(A_2:=\{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2 : x_1\geq x_2\}\)
denn für x1 = x2 stimmen ja die beiden Zeilen der Def. der Funktion überein, es
ergibt sich immer 0; denn für z.B. (a;a) hast du
$$\sqrt{2}|x_2|-|x|_2 \quad =\sqrt{2}|a|-\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}|a|-\sqrt{2a^2}=\sqrt{2}|a|-\sqrt{2}|a|=0 $$