Sind die folgenden Tupel linear unabhängig? ( (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,1,1), (1, 0, 0, -1) ) in R^4.

Question

( (1,0,0,1),  (0,1,1,0),  (0,1,1,1),  (1, 0, 0, -1) ) in R⁴.

Bis hier die Aufgabenstellung.

 

Nun meine Lösung:

Angenommen λi = 0 für Alle i

λ1+λ4 = 0 (I) ,     λ2+λ3=0 (II) ,     λ2+λ3=0  (III)   ,     λ1+λ3+λ4=0   (IV)

(IV - III)  =     λ1-λ2-λ4=0,     (-I) =  2λ1-λ2  

(II - III) = 0 + 0 = 0     =>  λ2=0, λ3=0    =>  für 2λ1-λ2  =0      =λ1= 0   (da 0 ungleich 0 in R)

(I) λ1+λ4=0   =>, λ4=0

Also sind die Tupel linear unabhängig.

 

Ich weiß wirklich nicht, ob das überhaupt ansatzweise richtig ist, was ich dort fabriziert habe ...

Wäre lieb, wenn ihr etwas dazu sagen könntet.

Comments

Hast Du die Tupel richtig notiert?

( (1,0,0,1),  (0,1,1,0),  (0,1, 1, 0),  (1, 0, 0, -1) ) in R⁴.

So hast Du sie gelistet, und hierbei ist Tupel 2 = Tupel 3 :-)

---

Oh. Jetzt entdecke ich den Fehler erst.

Tupe 3 ist (0,1,1,1).   - Ich hatte mich schon etwas gewundert. Wenn man auch nicht richtig schaut ...


Wäre denn der zumindest der Ansatz dennoch so richtig gewesen?

Oder mach ich das vollkommen falsch?

:)

Answer 1

das vogehen wurde ja schon beschrieben(ich tu trotzdem mal meinen senf dazu :D), mach spaltenvektoren aus den tupeln
wobei jeder vektor einen koeffizienten a_i mit 1 <= i <= 4 erhält.
bilde den nullvektor ab:
\( a_1\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix} + a_2\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} + a_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\\1\end{pmatrix} + a_4\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \\ \)

das ergibt ein gleichungssystem mit 4 unbekannten und nur wenn
es genau eine lösung gibt, mit a_i = 0 mit 1 <= i <= 4, dann sind die tupel
linear unabhängig.
oben kann man aber schon sehen, ohne zu rechnen, dass die zweite und die dritte
gleichung des gleichungssystems linear abhängig ist. d.h. man kann eine gleichung
streichen und damit hat man nur 3 gleichungen für 4 unbekannte, darum gibt es
mehr als eine lösung, der nullvektor lässt sich vielfältig darstellen, d.h.
die tupel sind linear abhängig.

gruß,

gorgar

Answer 2

 

ich weiß nicht, wie man an solch eine Aufgabe systematisch und formal richtig herangeht, aber die vier genannten Tupel

( (1,0,0,1),  (0,1,1,0),  (0,1,1,1),  (1, 0, 0, -1) ) in R⁴

sind nicht linear unabhängig!

Denn:

Tupel 1 - Tupel 4 = (0,0,0,2)

 

Tupel 2 + 1/2 * (Tupel 1 - Tupel 4) =

(0,1,1,0) + 1/2 * (0,0,0,2) =

(0,1,1,0) + (0,0,0,1) =

(0,1,1,1) =

Tupel 3

 

Tupel 3 lässt sich also als Linearkombination aus Tupel 1, Tupel 2 und Tupel 4 darstellen; deshalb liegt keine lineare Unabhängigkeit vor.

 

Besten Gruß

Answer 3

Du solltest daraus Spaltenvektoren machen und dann Komponentenweise Gleichungen aufstellen.

a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) +c (0,1,1,1) +d(1, 0, 0, -1) = (0,0,0,0).

a+d =0

b+c =0

b+c=0

a + c - d =0.

------------------

Sei d=1 ---> a=-1, → c = 2 ---> b=-2

 

-(1,0,0,1) -2(0,1,1,0) +2 (0,1,1,1) +(1, 0, 0, -1) = (0,0,0,0).

Ich habe somit eine nichttriviale Lsg. gefunden. ==> die Vektoren sind lin. abh.

Anmerkung: Nachrechnen und v.a. Vorzeichen kontrollieren.