Existenz komplexer Quadratwurzel aus komplexen Zahlen beweisen?

Question

hier die Aufgabe, die ich bearbeiten muss:

Beweisen Sie, dass zu jeder komplexen Zahl  z = a + bi ∈ ℂ  eine Quadratwurzelexisitiert, also eine komplexe Zahl  w ∈ ℂ  mit  w² = z. Geben Sie w in der Form  w = c + di  für  c, d ∈ ℝ  an. Sie dürfen dabei die übliche Lösungsformel für quadratische Gleichungen in R benutzen. (Hinweis:Lösen Sie die Gleichung  x⁴ + px² − q² = 0  für p, q ∈ ℝ  in der Unbekannten x.)

Mein erster Gedanke war, jetzt unabhängig von der Hilfe in der Aufgabenstellung einfach für die Quadratwurzel einer komplexen Zahl eine andere komplexe Zahl anzunehmen, also:

   √(a + bi)  =  c + di   <=>   a + bi  =  (c + di)²  =  c² + 2cdi + (di)²  =  c² + 2cdi - d²

daraus folgt, a  =  c² - d²  (Realteil)    und     bi  =  2cdi  <=>  b  =  2cd (Imaginärteil)

da c, d ∈ ℝ sind, kann deswegen ja sogesehen jeder reelle Wert für a und b erzeugt werden. Damit hat jede komplexe Zahl mindestens eine komplexe Quadratwurzel.

Frage: Habe ich damit ausreichend bewiesen, dass es zu jeder komplexen Zahl eine Quadratwurzel gibt oder ist das noch nicht ausreichend? Was hat dieser Hinweis aus der Aufgabenstellung zu bedeuten? Komme da nicht mit.

Danke für jegliche Hilfe im Voraus!

Answer 1

Hallo

ausser dass du bei dem quadrieren den Doppelpfeil weglassen musst, ist dein Beweis richtig, setzt aber voraus, dass es eine Wurzel gibt.

 du musst ihn also eigentlich noch von hinten nach vorne machen.

 mit a)c^2-d^2 und b=.. folgt..

Gruß lul