Aufgabe:
Zeigen Sie direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit, dass die reellen Funktionen \( f_{1}, f_{2}, f_{3} \) definiert durch $$ f_{1}(x)=\frac{1}{x^{2}}, \quad f_{2}(x)=\frac{1}{x^{4}}, \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} $$ und $$ f_{3}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}, \quad x \in(0, \infty) $$ in allen Stellen \( x_{0} \) ihres Definitionsbereichs differenzierbar sind und bestimmen Sie die entsprechenden Ableitungen direkt mit der Definition der Ableitung.
Problem/Ansatz:
Ich habe vorerst die erste Funktion auf Differenzierbarkeit untersucht. Dabei habe ich mit der Definition der Differenzierbarkeit folgendes Ergebnis erhalten:
f1(x) = \( \frac{1}{{x2} \) = x-2
f1'(x) = \( \lim\limits_{x\to\x0} \) \quad \( \frac{f(x) - f(x0)}{x - x0} \)
= \( \lim\limits_{x\to\x0} \) \( \frac{x-2 - x0-2}{x - x0} \) / 3. Binomische Formel anwenden
= \( \lim\limits_{x\to\x0} \) \( \frac{(x - x0)-1 * (x + x0)-1}{(x + x0)-1} \) / kürzen
= \( \lim\limits_{x\to\x0} \) (x + x0)-1 = (x0 + x0)-1 = 2x0-1 = f'(x0)
Ich weiß, dass das noch als Beweis unterfüttert werden muss.
Die Frage ist nur, stimmt das Ergebnis soweit?
Die zweite Funktion habe ich auf gleiche Weise gelöst. Da habe ich aber als Ableitungsfunktion f2'(x0) = 0 erhalten.
