Hilfe bei Kombinatorik Aufgabe

Question

Hi Freunde, könnt ihr mit bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich blicke da leider gar nicht durch.

Ein Zug besteht aus 4 Wagen der 1. Klasse, 7 Wagen der 2. Klasse, 1 Speisewagen, 2 Gepäckwagen. Wie viele unterscheidbare Wagenfolgen sind möglich
(a) wenn die Wagen beliebig eingereiht werden dürfen?
(b) wenn die Wagen der \( 1 . \) Klasse nicht getrennt werden dürfen?

Lösungen:
\( (\mathrm{a}) \)
$$ \frac{14 !}{4 ! \cdot 7 ! \cdot 1 ! \cdot 2 !}=360.360 \quad \text { (Permutation) } $$
(b) Betrachten die 4 Wagen der \( 1 . \) Klasse als 1 Element
$$ \frac{11 !}{1 ! \cdot 7 ! \cdot 1 ! \cdot 2 !}=3960 $$

 Ich bedanke mich für jede Hilfe.

LG

Answer 1

hier ist die Permutation mit Wiederholung anzuwenden.

(Die Zusammenstellung von n Elementen, unter denen \(n_1,n_2,...,n_m\) Elemente nicht unterscheidbar sind, heißt Permutation mit Wiederholung.)

\(\displaystyle\mathbb{P}^W_{n_1,n_2,...,n_m}=\frac{n!}{n_1!\cdot n_2!\cdot ...\cdot n_m!}, n_i\in\mathbb{N}, n=\sum\limits^{m}_{i=1}n_i\)

Für (a) sind die Elemente wie folgt zu wählen:

\(\displaystyle n_1=4, n_2=7, n_3=1, n_4=2, n=\sum\limits^{4}_{i=1}n_i=14\).

\(\displaystyle\mathbb{P}^W_{4,7,1,2}=\frac{14!}{4!\cdot7!\cdot1!\cdot2!}=360.360\)

Bei (b) sind die Wagen der 1. Klasse fest verbunden, sodass effektiv nur noch ein Wagen der 1. Klasse existiert.

Damit gilt \(\displaystyle n_1=1, n_2=7, n_3=1, n_4=2, n=\sum\limits^{4}_{i=1}n_i=11\).

\(\displaystyle\mathbb{P}^W_{1,7,1,2}=\frac{11!}{1!\cdot7!\cdot1!\cdot2!}=3.960\)