Inversen, neutrales Element ...

Question

Sei \( G \) eine Menge zusammen mit einer Verknüpfung \(\circ\), die folgende Axiome erfüllt: 

(G1) Assoziativität: \( a \circ(b \circ c)=(a \circ b) \circ c\quad \forall\: a, b, c \in G \).
(G2') Es existiert ein linksneutrales Element, d.h. ein \( e \in G \) mit \( e \circ a=a \quad\forall a \in G \).
(G3') Existenz des Linksinversen, d.h. \( \forall a \in G \:\:\exists a^{-1} \in G \) mit \( a^{-1} \circ a=e \).

Zeigen Sie:

(a) Für \( a, b \in G \) gilt: Ist \( a \circ b=e, \) dann ist auch \( b \circ a=e \).
(b) Es ist \( a \circ e=a \:\:\forall a \in G \).
(c) Das neutrale Element ist eindeutig.
(d) Die Inversen sind eindeutig.
(e) Für \( a, b \in G \) ist \( (a b)^{-1}=b^{-1} a^{-1} \).
(f) Für \( a \in G \) ist \( \left(a^{-1}\right)^{-1}=a \).

Answer 1

Zu (a)

\( a \circ b = e \) also auch \( a^{-1} \circ ( a \circ b) = a^{-1} \), daraus \( (a^{-1} \circ a) \circ b = a^{-1} \) und daraus \( b = a^{-1} \) und daraus $$  b \circ a = e  $$

Der Rest geht ähnlich, ist für Dich.

Answer 2

Hallo,

c)

Seien e und e' neutrale Elemente.

Dann ist

e'=e'e =e