Gruppenhomomorphismus, neutrales Element, Beweis

Question

Aufgabe:

Seien \( (G, \circ),(H, \cdot) \) Gruppen.

Sei \( f: G \rightarrow H \) ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie \( f\left(e_{G}\right)=e_{H} \) und \( f\left(g^{-1}\right)=(f(g))^{-1} \) für alle \( g \in G \), wobei \( e_{G} \) und \( e_{H} \) die neutralen Elemente der Gruppen sind.

Über jede Hilfe würde ich mich sehr freuen. Danke im voraus

Answer 1

Das neutrale Element einer Gruppe ist das einzige idempotente

Element der Gruppe, d.h. das einzige Element \(x\) mit \(x\circ x = x\).

Nun ist \(f(e_G)=f(e_G\circ e_G)=f(e_G)\circ f(e_G)\),

\(f(e_G)\) ist also idempotent und daher das neutrale Element

\(e_H\) von \(H\).

\(e_H=f(e_G)=f(g\circ g^{-1})=f(g)\circ f(g^{-1})\Rightarrow f(g^{-1})=(f(g))^{-1}\).