Globales Optimum an der Stelle a berechnen

Question

Die Funktion \( f\left(x_{1}, x_{2}\right)=5 x_{1}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{2}^{2}-74 x_{1}+96 x_{2}-20 \) besitzt ein globales Optimum an der Stelle a. Welchen Wert hat \( x_{1} \) an der Stelle a?

Comments

graphisch und numerisch schaut das so aus:

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Zum n+1 mal der gleiche Aufgabentyp

Siehe https://www.mathelounge.de/677227/globales-optimun-an-der-stelle-a-berechnen#c677385

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Ok also wäre das bei mir a= (7,-6) ?

Und warum steht bei der Angabe dass es nur einen Wert gibt für die Lösung ?

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Weil  das a ∈ R³ aus den Koordinaten (x,y,f(x.y)) besteht...

siehe Bild unter dem Link

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Wie kann ich denn das überprüfen ob sich dabei um ein Minimum Maxiumun handelt ?

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Schritt 2: Hesse Matrix bestimmen

https://www.geogebra.org/m/bu3QjrBQ

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Ist die Hesse Funktion dann unabhängig von dem Punkt ? Weil da muss man ja nichts einsetzten ? Die Punkte von a mein ich

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In dem Fall nicht...

Also dann, Dein

\(Grad \, :=  \,  \left\{ 4 \; x - 2 \; y + 38, -2 \; x + 14 \; y - 110 \right\} \)

hat die Nullstellen

\(Exy \, :=  \,   \left\{ x = -6, y = 7 \right\}  \)

und die Hessematrix

\(H_{xy}=\left(\begin{array}{rr}4&-2\\-2&14\\\end{array}\right)\)

mit Det(H_xy)>0 ∧ 4>0 ===> \(PosDefinit_{Min} = true\)

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Dankee vielmals !! Ich hab’s verstanden dank dir :)

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Sehr gut - dann auf ein Neues :-)

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Hey sorry nochmal

Aber muss ich meine Zahlen x1=-6 und x2=7 oben in die Funktion für f(x1,x2) einsetzten damit ich auf eine ganze Zahl komme, und das dann mein ergebnis ist ?

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Also dass es bei der Angabe nicht explizit angegeben ist ob man für x1 oder x2 das globale Optimum braucht, verwirrt mich sehr

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Die Graphik ist ja dreidimensional. D.h. die Funktion hat zwei Argumente, x₁ und x₂.

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Ja aber bei der Angabe wird dies leider nicht akzeptiert.. also (-6,7) stimmt nicht. Es hat geheißen dass man eine ganze Zahl raus bekommen soll ..

Answer 1

Schrittweise Nachverfolgung mit GeoGebra CAS

f(x,y):=....

Derivative=Ableitung

Solve=Löse

Substitute=Ersetze

https://www.geogebra.org/classic#cas

Comments

wie kommt man rechnerisch auf die 6 & -7 ?

ich weiß, dass man die partiellen Ableitungen macht, komm dann aber nicht weiter

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Du setzt die Ableitung nach der ersten Variablen gleich Null, und die Ableitung nach der zweiten Variablen gleich Null. Das gibt ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten. Dessen Lösung ist die Koordinaten des Minimums.

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Habs richtig, danke :)

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Ist so weil egal aus welcher Richtung du diese Graphik seitlich (also senkrecht zur f-Achse) betrachtest, beim Minimum gehts auf beide Seiten immer nach oben. Also auch dann, wenn du senkrecht auf die f-x-Ebene (Ableitung nach x) schaust, oder senkrecht auf die f-y-Ebene (Ableitung nach y). D.h. die erste Ableitung ist gleich Null.

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Aufgabe:

Die Funktion (x1,x2) = (x1-15)2+(-6x2-175/3)2-4x1x2 besitzt ein globales Optimum an der Stelle x*. Finden Sie dieses Optimum. An welcher Stelle x2 befindet sich dieses Optimum


Problem/Ansatz:

mir kommt -10 raus.. das stimmt aber nicht :( kann mir bitte jemand weiterhelfen?

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Du hast im Eingabefenster so Knöpfe, um hochgestellte Zahlen (dritter Knopf von links) und tiefgestellte Zahlen (vierter Knopf von links) zu schreiben. Bitte mach das, dann versteht man was ein Index und was ein Exponent ist.

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Um digitale Systeme wie ein CAS zufrieden zu stellen darfst Du auch gerne

f(x,y):=  (x-15)^2+(-6y-175/3)^2-4 x y

schreiben - kopierferitg für den Link...

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Die Funktion (x₁,x₂) = (x₁-15)²+(-6x₂-175/3)²-4x₁x₂ besitzt ein globales Optimum an der Stelle x*. Finden Sie dieses Optimum. An welcher Stelle x2 befindet sich dieses Optimum

mir kommt -10 raus.. das stimmt aber nicht :( kann mir bitte jemand weiterhelfen?

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x₂ = -10 stimmt

Answer 2

Hier meine Berechnungen

Im Punkt ( 6, -7 ) ist die Steigung in beide Richtungen null.
Die Krümmung ist in beide Richtungen positiv, also linksgekrümmt.
Der Punkt ist ein Tiefpunkt.

Comments

Du hast mit den Zahlen von AlexTauber gerechnet?

abcde1999 kann vielleicht hier einen Rechenweg abholen.