Gleichung einer Tangente herausfinden

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente, die die Parabel \( f(x)=2 x^{2}+4 x-2 \) an der Stelle \( x=2 \) berührt.

Problem/Ansatz:

Ich habe hier wirklich keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen kann.

Ich wäre dankbar wenn mir hier jemand helfen könnte.

Answer 1

Hallo,

eine Tangente ist eine Gerade mit der allgemeinen Gleichung

f(x) = mx + b

m ist die Steigung, die du mit der 1. Ableitung - f'(2) - berechnest. Anschließend setzt du die Koordinaten des Punktes (2|f(2)) in die Gleichung ein, um b zu ermitteln.

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

Comments

Also f´(2): 4x+4 also 4*2+4=12

Und f(2)=12x+b

->f(2)=12*2+b

->b=-22?

Also wäre die Gleichung der Tangente y=12x-22 ?

Sorry das ist schon zu lange her, dass ich das in der Schule gemacht habe.

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4*2 + 4 = 12, nicht 10...

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4*2 + 4 = 12 (sooo lange ist die Schule doch noch nicht her, oder ;-))

Den Funktionswert berechnest du, indem du für x die 2 in die Ausgangsgleichung einsetzt:

$$f(2)=2\cdot 2^2+4\cdot 2 -2 = 14 $$

14 = 12*2 +b ⇒

b = -10

t(x) = 12x - 10

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4*2+4=12 sollte man noch hinbekommen :)

Ok das verstehe ich, wozu wäre denn jetzt nochmal die erste Ableitung gut in dieser Aufgabe?

f(x)=2x²+4x−2

f´(x)=4x+4 ?

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Siehe weiter oben: "Die erste Ableitung der Parabel bei x=2 ist die Steigung m der Tangente."

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Ableitung = Steigung der Tangente an dieser Stelle

f'(2) = 12 = m

Answer 2

Die erste Ableitung der Parabel bei x=2 ist die Steigung m der Tangente.

Zudem gilt für die Geradengleichung der Tangente y = mx + q, dass man x=2 und y=f(2) einsetzen kann.

Dann hast du ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten m und q. Das löst du, und dann hast du die Geradengleichung der Tangente.

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So schaut der Plot aus:

Answer 3

Wayne, deine Fragen wirken in ihrer Gesamtheit ein wenig desorientiert ("wirklich keine Ahnung"), vielleicht lieferst du noch Schulart, Stufe und Stoffzusammenhang nach.

Zu deiner Frage:

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion \(y=f(x)\) an der Berührstelle \(x_b\) lautet $$y=f'(x)\cdot (x-x_b)+f(x_b),$$ hier also $$y=f'(2)\cdot (x-2)+f(2).$$ Dies entspricht der üblichen Definition der Ableitung.

_{(Es gibt eigentlich keinen Grund, warum man die Tangentengleichung so bestimmen sollte, wie es in den beiden anderen Antworten gemacht worden ist.)}

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Ich mach mich zu dem Thema nochmal schlau, vielen Dank.