Mit zwei Funktionen, Gerade und Tangente a herausfinden

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Funktionen f(x)=x^2  und  h(x)=\( \sqrt{x} \)    . Die senkrechte Gerade g mit der gleichung x=a schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Grapfen von h im Punkt Q. Bestimmen Sie a so, dass die Tangenten in P und Q parallel sind.

Problem/Ansatz:

Wie sollte man da vorgehen? Muss ich da mit der Tangentengleichung und Normalengleichung arbeiten?

Answer 1

Die Gerade g sagt nur, dass P und Q übereinander liegen, also den gleichen x-Wert haben.

$$ \begin{aligned}f'(x) &= h'(x) \cr 2x &= {1\over 2\sqrt{x}} \cr 4x^{3/2} &= 1 \cr x &= {1\over 2\cdot2^{1/3}} \cr \end{aligned} $$

Answer 2

Nein. Du musst die Stelle x finden, an der die beiden Ableitungen gleich sind.

Hinweis: "senkrechte Gerade" hat hier nichts mit einer Normale von einer der Funktionen zu tun.

Die Gerade x=a steht einfach nur senkrecht auf der x-Achse und schneidet damit beide Graphen an der selben Stelle x=a.

Comments

das heisst, ich muss die Ableitung herausfinden und dann gleichsetzen

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Ich wüsste nicht, wie man

Stelle x finden, an der die beiden Ableitungen gleich sind.

noch anders interpretieren könnte.

Answer 3

So sieht es graphisch aus:

Answer 4

Manchmal soll ja auch schon eine kleine Skizze helfen, damit man die Situation versteht

~plot~ x^2;sqrt(x);x=2^(2/3)/4;2^(2/3)/2x-2^(1/3)/8;2^(2/3)/2x+2^(1/3)/4;[[-2|2|-1.5|1.5]] ~plot~