Formel für Partailsummen von geometrischen Reihen finden? und direkter Beweis?

Question

Sei x ∈ N.
(a) Finden Sie eine Summenformel für 1 + x + x^2 + ... + x^n-1
, indem Sie die Anzahl Folgen
(x1,..., xn) mit x1,..., xn ∈ {1,..., x}, sodass nicht alle Folgenglieder gleich x sind, auf zwei
Arten abzählen.
(b) Beweisen Sie Ihre Formel aus (a) mit einem direkten Beweis.

Comments

Sollte das -1 am Ende nicht auch im Exponenten stehen?

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ja sorry moment

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verzweifel an dieser Aufagbe

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Die zweite Art, die Anzahl der Folgen abzuzählen könnte so gehen :

Zähle zuerst diejenigen Folgen mit x_1 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 = x  und  x_3 ≠ x ,
dann diejenigen mit  x_1 = x  und  x_2 = x  und  x_3 = x  und  x_4 ≠ x
u.s.w.

Answer 1

Sie $$  S = 1 + x + \cdots + x^{n-1} $$ dann ist $$  x S = x + x^2 + \cdots x^{n-1} + x^n $$

Daraus folgt $$  S - xS = 1 - x^n $$ also $$  S = \sum_{i=0}^{n-1} x^i = \frac{1-x^n}{1-x} $$