Zeigen Sie: Sind a, b ∈ Z mit a, b ≥ 1 und ggT(a,b)=1

Question

Aufgabe:

(a) Zeigen Sie: Sind \( a, b \in \mathbb{Z} \) mit \( a, b \geq 1 \) und \( \operatorname{gg} \mathrm{T}(a, b)=1, \) dann ist $$ \mathbb{Z} /(a \cdot b) \longrightarrow \mathbb{Z} / a \times \mathbb{Z} / b \\ \bar{x} \quad \longmapsto \quad(\bar{x}, \bar{x}) $$ ein Isomorphismus. Hinweis: Chinesischer Restsatz.

(b) Bestimmen Sie das Urbild von \( (8+10 \mathbb{Z},-11+21 \mathbb{Z}) \) unter dem Gruppenisomorphismus

$$ \mathbb{Z} / 210 \cong \mathbb{Z} / 10 \times \mathbb{Z} / 21 $$

Comments

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Titel: Isomorphismus und chinescher Restsatz

Stichworte: gruppenhomomorphismus,ggt,isomorphismus

a) Zeigen Sie: sind \( a, b \in \mathbb{Z} \) mit \( a, b \geq 1 \) und \( \operatorname{gg} \mathrm{T}(a, b)=1, \) dann ist

\( \mathbb{Z} /(a \cdot b) \longrightarrow \mathbb{Z} / a \times \mathbb{Z} / b \\ \bar{x} \quad \longmapsto \quad(\bar{x}, \bar{x}) \)

ein Isomorphismus. Hinweis: Chinesischer Restsatz.

b) Bestimmen Sie das Urbild von \( (8+10 \mathbb{Z},-11+21 \mathbb{Z}) \) unter dem Gruppenisomorphismus $$ \mathbb{Z} / 210 \cong \mathbb{Z} / 10 \times \mathbb{Z} / 21 $$

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