(Gruppen-)Homomorphismus: Zeigen Sie, dass ϕ(g^{-1}) = ϕ(g)^{-1} für g ∈ G

Question

Aufgabe:

Sei ϕ : G → H ein (Gruppen)Homomorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ(g⁻¹) = ϕ(g)⁻¹ für g ∈ G.

Ansatz:

Ich weiß, dass: (g −1 ) ⁻¹ = g ∀ g ∈ G, aber das bringt mich nicht weiter. In meinem Skript finde ich ansonsten keine weiteren Ansätze oder Ideen wie ich das zeigen soll.

Answer 1

Hallo:-)

Das ist ein sehr kurzer Beweis: Ohne formales Vorgeplänkel hat man:

\(\phi(g)\circ \phi(g)^{-1}=e_H=\phi(e_G)=\phi(g*g^{-1})=\phi(g)\circ \phi(g^{-1})\)

Nach der Kürzungsregel in Gruppen folgt demnach \(\phi(g)^{-1}=\phi(g^{-1})\).

Comments

Moin!

Etwas lange her aber trotzdem interessant, könntest du (oder jemand) diese Kürzungsregel näher ausführen? :)

Ich verstehe, dass die Kürzungsregel besagt ax=bx <=> a=b., aber wie kommt man von \(\phi(g)\circ \phi(g^{-1})\) auf \(\phi(g)^{-1}=\phi(g^{-1})\). ?

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Du kannst zb auf meine Gleichungskette in jedem Schritt von links noch \(\phi(g)^{-1}\) anfügen.

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Okay ich denke ich habs. Zwar nicht mit den Anfügen von \(\phi(g)^{-1}\), dafür aus der Erkenntnis, dass man aus der Gleichungskette rauslesen kann, dass man das \(\phi(g)\) rauskürzen kann:

\(\phi(g)\phi(g)^{-1}=\phi(g)\phi(g^{-1})\)

\(\phi(g)^{-1}=\phi(g^{-1})\)

Stimmt doch, oder? :)

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Ja, das passt auch, wenn du das mit der Kürzungsregel begründest.