Stellt eine Abbildung einen Gruppenhomomorphismus oder einen Homomorphismus abelscher Gruppen dar?

Question

Wie bestimme ich, ob eine Abbildung ein Gruppenhomomorphismus oder ein Homomorphismus abelscher Gruppen darstellt? (siehe Aufgabe)

Es seien Gruppen \(G\) und \(H\) gegeben. Ein \newnotion{Gruppenhomomorphismus} von \(G\) nach \(H\) ist eine Abbildung \(\varphi\colon G \rightarrow H\) derart, dass für \( x, x' \in G \) stets \( \def \arraystretch{1.0} \varphi(x \cdot^{G} x') = \varphi(x) \cdot^{H} \varphi(x') \) gilt.

Es seien abelsche Gruppen \(A\) und \(B\) gegeben. Ein Homomorphismus abelscher Gruppen von \(A\) nach \(B\) ist ein Gruppenhomomorphismus \(\varphi\colon A \rightarrow B\).

Hinweise: Beachten Sie, dass wir abelsche Gruppen additiv schreiben, wodurch sich auch die Schreibweise der definierenden Eigenschaft eines Homomorphismus abelscher Gruppen ändert. Die im Folgenden auftretenden Mengen seien jeweils als Gruppen bzgl. der im jeweiligen Fall üblichen Multiplikation bzw. als abelsche Gruppen bzgl. der im jeweiligen Fall üblichen Addition aufgefasst.

a) Ist \SymmetricGroup{3} → \SymmetricGroup{3}, \(\pi \rightarrow \pi^2\) ein Gruppenhomomorphismus?

b) Ist \Integers → \Integers, \(x → 2 x\) ein Homomorphismus abelscher Gruppen?

c) Ist \Units{\Integers} → \Units{\Integers}, \(x → 1\) ein Gruppenhomomorphismus?

d) Ist \sgn\colon \Units{\Reals} → \Units{\Integers}, \(x → \frac{x}{|x|}\) ein Gruppenhomomorphismus?

e) Ist \Integers → \Integers / 16\), \(x → [x] ein Homomorphismus abelscher Gruppen?

Comments

S_{3} für Symmetrische Gruppe

ℤ für Integers

Also jeweils Definitions- und Wertebereich.

Answer 1

Hi,

du überprüfst ob die Eigenschaft aus der Definition für diese Abbildungen gilt: (wenn die Abbildung zwischen 2 unterschiedlichen Gruppen ist sollst du beachten ob die Verknüpfung jeweils von dir richtig verwendet wurde)

a) nein, da S3 nicht kommutativ ist, kannst auch nach einem Gegenbeispiel suchen

b) ja, denn f(x+y) = 2(x+y) = 2x+2y = f(x) + f(y)

usw..

Gruß