Die Fragestellung in der Aufgabe kann man als eine asymmetrische Irrfahrt (Random Walk) interpretieren mit der Erfolgswahrscheinlichkeit \( p = 51\text{\%} \) und einer Mißerfolgswahrscheinlichkeit von \( q = 1 - p = 49\text{\%} \). Eine Irrfahrt heisst asymmetrisch wenn \( p \ne \frac{1}{2} \) gilt.
Allgemein wird eine Irrfahrt durch eine Folge von Zufallszahlen \( X_i \) beschrieben für die gilt
$$ P(X_i = +1) = p $$ und $$ P(X_i = -1) = 1-p $$ und $$ S_n = \sum_{k=1}^n X_k $$
\( S_n \) beschreibt dann die Irrfahrt. D.h. der Graph der Irrfahrt nimmt pro Zeitschritt entweder um \( +1 \) zu oder um \( -1 \) ab.
In der Aufgabe ist nun der erste Zeitpunkt gesucht, für den \( S_n = 25 \) gilt. Da \( S_n \) selber eine Zufallsvariable ist, kann dies natürlich nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit erfolgen. Diese ist in der Aufgabe mit \( w = 99.9\text{\%} \) vorgegeben. Genauer definiert man diesen Zeitpunkt wie folgt
$$ V_k = \inf \{ n \ge 1 : S_n=k \} $$
Für den Irrfahrtprozess gilt nun, s. Henze, Irrfahrten und verwandte Zufälle
$$ (1) \quad P\left( \frac{V_k-\frac{k}{p-q}}{\sqrt{\frac{4pqk}{(p-q)^3}}} \le x \right) \approx \Phi(x) $$
wobei \( \Phi(x) \) die Standardnormalverteilungsfunktion ist.
Aus \( (1) \) folgt
$$ (2) \quad P\left( V_k \le \frac{k}{p-q} + x\cdot \sqrt{\frac{4pqk}{(p-q)^3}} \right) \approx \Phi(x) $$
Aus der vorgegebenen Wahrscheinlichkeit \( w = 99.9\text{\%} = \Phi(x) \) folgt \( x=\Phi^{-1}(w)=3.09 \)
Für die anderen Werte gilt \( k = 25 \), \( p = 51\text{\%} \) und \( q = 1-p=49\text{\%} \)
Damit ergibt sich
$$ V_k \le \frac{k}{p-q} + x\cdot \sqrt{\frac{4pqk}{(p-q)^3}} \approx 6712 $$
Somit sind ca. \( 6712 \) Versuche notwendig, um mit der geforderten Sicherheit von \( 99.9\text{\%} \) die Punktzahl von \( 25 \) zu erreichen. Die Anzahl dieser Versuche entspricht bei einer Rundenzeit von \( 10 \) Minuten pro Runde ungefähr einem Zeitraum von \( 1119 \) Stunden.
Unten ist ein Beispiel für eine Irrfahrt mit den in der Aufgabe genannten Parametern dargestellt.
