Isomorphismus abbilden (Aufzeigen)

Question

Aufgabenstellung: Sei ϕ : G → H ein Isomorphismus. Zeigen Sie, dass ϕ⁻¹ : H → G ein Isomorphismus ist.

Die Aufgabe ist aus meiner Klausur, leider ist die Aufgabe als falsch oder unzureichend beantwortet markiert worden.

So weit bin ich: Ein ist Isomorphismus eine Abbildung zwischen zwei Strukturen, und werden abgebildet umkehrbar eindeutig (bijektiv).
Jedoch kann ich das anscheinend nicht richtig anwenden, bzw. würde mich über Hilfe freuen.

Vielen Dank.

Answer 1

Hallo :-)

ein Isomorphismus ist eine lineare Abbildung \(f:\space V\to W\) zu der es eine lineare Abbildung \(g:\space W\to V\) gibt, sodass \(g\circ f=\operatorname{id}_V\) und \(f \circ g=\operatorname{id}_W\) gilt.

Jetzt in diese Definition einsetzen:

Betrachte wie in der Aufgabenstellung nun \(f:=\phi^{-1}:\space H\to G\). Zeige:

1.) \(\phi^{-1}\) ist linear

2.) \(g:=\phi:\space G\to H\) ist eine mögliche Abbildung für \(\phi^{-1}\), sodass

\(\phi\circ \phi^{-1}=\operatorname{id}_H\) und \(\phi^{-1}\circ \phi=\operatorname{id}_G\) gilt.

Comments

Das müsste passen.Ich habe etwas herumgesucht (Inet und Skript) und versucht etwas zu finden, dass für mich (halbwegs) verständlich ist. Sei a₁, a₂ ∈ G und b₁, b₂ ∈ H mit Φ(a₁) = b₁ und Φ(a₂)=b₂, dann gilt: Φ⁻¹(b₁∘b₂) = Φ⁻¹(Φ(a₁)∘Φ(a₂)) = Φ⁻¹(Φ(a₁∘a₂)) = a₁∘a ₂ = Φ⁻¹(b₁)∘Φ⁻¹(b₂)

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Was willst du damit zeigen?