Isomorphismus und eindeutige lineare Abbildung zeigen

Question

Hallo,
ich brauche dringend bei folgender Aufgabe eure Unterstützung.

6. Seien K ein Körper und V,W K-Vektorraume.
a) Zeigen Sie, dass durch ϕ ⊗ ψ → (v⊗w → ϕ(v)·ψ(w)) eine eindeutige lineare Abbildung
F: V∗ ⊗ W∗ → (V⊗W)∗ definiert wird.
b) Zeigen Sie, dass die Abbildung F aus a) ein Isomorphismus ist, falls V und W endlich dimensional sind.

Danke für eure Hilfe schon mal im Voraus.

Comments

Kennst du die universelle Eigenschaft vom Tensorprodukt?

Wenn du die kennst, musst du nur zeigen, dass durch:

$$f:V^\ast\times W^\ast\longrightarrow (V\otimes W)^\ast,(\phi,\psi)\mapsto ((v\otimes w)\mapsto \phi(v)\cdot\psi(w))$$

eine bilineare Abbildung definiert wird. Die universelle Eigenschaft musst du aber noch ein zweites Mal verwenden: Ein Element von \((V\otimes W)^\ast\) (eine lineare Abbildung \(V\otimes W\longrightarrow K\)) ist das Gleiche wie eine bilineare Abbildung \(V\times W\longrightarrow K\). Damit kriegst du alles auf Bilinearität aufgebröselt, rechnest die einmal nach und bist fertig.

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@joners Danke für den hilfreichen Tipp! Passt das so für Aufgabenteil a?

Zunächst definiere ich die Abbildung: f:V∗×W∗→(V⊗W)∗,

f(ϕ,ψ)(v⊗w)=ϕ(v)⋅ψ(w).

Bilinearität von f:

Linearität in ϕ:(ϕ1+aϕ2,ψ)(v⊗w)=(ϕ1,ψ)(v⊗w)+(ϕ2,ψ)(v⊗w)

Linearität in :(ϕ,ψ1+bψ2)(v⊗w)=(ϕ,1)(v⊗w)+(ϕ,ψ2)(v⊗w)

Da f bilinear ist, gibt es eine eindeutige lineare Abbildung

F:V∗⊗W∗→(V⊗W)∗, sodass (ϕ⊗ψ)=(ϕ,ψ)

Kannst du mir auch einen Tipp bezüglich b geben?

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Gib doch eine Umkehrabbildung an, dann merkst du auch, wieso du die nur konstruieren kannst im endlichdimensionalen Fall! :)

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@joners hmm okay.

Passt a denn so?

Für b habe ich nun folgende Idee:

Um zu zeigen, dass F ein Isomorphismus ist, müssen wir beweisen, dass F bijektiv ist. Da V und
W endlich-dimensional sind, können wir die Dimensionsformel für lineare Abbildungen verwenden:
dim(V∗⊗W)=dim(V∗)⋅dim(W)=dim(V)⋅dim(W) und

dim((V⊗W)∗)=dim(V⊗W)=dim(V)⋅dim(W)

Da die Dimensionen übereinstimmen, folgt daraus, dass F injektiv und surjektiv ist, und somit ein Isomorphismus. Was sagst du @joners

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In der a) musst du noch Wohldefiniertheit der Abbildungen begründen, wie gesagt mittels der Universellen Eigenschaft.

Zur b): Dass die Dimensionen von Definitions- und Zielbereich übereinstimmen, ist notwendig aber nicht hinreichend für Bijektivität. Nutze doch meinen Tipp oder zeig, dass der Kern leer ist.