Zeigen Sie, dass für jedes a∈G die Abbildung κa : G→G, κa(x)=a·x·a^−1 ein Isomorphismus ist.

Question

Hey, ich weiß leider gar nicht, wie ich bei der folgenden Aufgabe vorgehen soll. Es wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Zeigen Sie, dass für jedes a∈G die Abbildung κa : G→G, κa(x)=a·x·a^−1 ein Isomorphismus ist.

Danke schonmal

Comments

Das ist nicht so schwer:

Homomorphismus: \( a \cdot x \cdot y \cdot a^{-1} = a\cdot x\cdot(a^{-1} \cdot a) \cdot y \cdot a^{-1} \).

Bijektivität zeigst zu z.B. durch Angabe der Umkehrabbildung.

Answer 1

(G , ·) ist ja wohl eine Gruppe.

Und für "Homomorphismus" hast du ja schon den Tipp aus dem

Kommentar. Etwa ausführlicher vielleicht so:

Sei a∈G und Ka wie in der Aufgabe definiert. Dann ist zu zeigen :

Für alle x,y ∈ G gilt Ka(x·y) = Ka(x) · Ka(y) .

Und dann den Tipp anwenden.

injektiv: Seien x,y ∈ G mit Ka(x) = Ka(y)

==>        a·x·a^−1  =  a·y·a^−1   | von rechts ·a

==>                   a·x =  a·y   | von rechts ·a^(-1)

==>                      x = y.

surjektiv: Gibt es zu jedem y ∈ G ein x ∈ G mit Ka(x)=y ?

Ja, wähle  x = a^(-1) ·y· a und das ist wegen der

Abgeschlossenheit von  (G , ·) auch wirklich in G.

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Achso, jetzt ist es mir schon deutlich klarer, vielen Dank für die Hilfe!