Gruppe mit Abbildung: a*_: G→G mit a*_(x)= a*x für x∈G.

Question

Sei (G,*) eine Gruppe.

a) Zeigen Sie, dass für a∈G die Abbildung a*_: G→G mit a*_(x)= a*x für x∈G bijektiv ist.

b) zeigen Sie, dass die Abbildung φ:G→S(G) mit φ(a)=a*_ (also φ(a)(x)=a*x) ein injektiver Gruppenhomomorphismus von (G,*) in (S(G),*) ist.

Answer 1

a) Überleg dir mal, dass (a^{-1})* = a^{-1}x  die Umkehrabbildung ist. Insbesondere kannst du mit der Inversen zeigen, dass die Abbildung a(x) surjektiv und injektiv ist (und somit bijektiv).

b) ich denke du meinst (S(G),°) mit der Komposition als Verknüpfung? Damit du zeigst, dass es sich um ein Gruppenhomom. handelt musst du nur zeigen, dass gilt

$$ \varphi (a\cdot b) = \varphi(a) \circ \varphi(b) \quad \forall a,b \in G $$

gilt.

Injektiv wäre dieser, wenn gilt \( \varphi(a) = \varphi(b) \Rightarrow a = b \)

wobei die Gleichheit der 2 Abbildungen bedeutet \( \varphi(a)(x) = \varphi(b)(x) \quad \forall x\in G \; (*)\)

Das kannst du über einen Widerspruch zeigen, nehme zuerst an, dass (*) und \( a \neq b \) gilt und zeige dann, dass es mindestens ein \(x_0\in G\) gibt, so dass \( \varphi(a)(x_0) \neq \varphi(b)(x_0) \). So ein Element sollte unproblematisch zu finden sein (denke an Aufgabe a))

Gruß

Answer 2

Sei (G,*) eine Gruppe.

a) Zeigen Sie, dass für a∈G die Abbildung a*_: G→G mit a*_(x)= a*x für x∈G bijektiv ist.

injektiv:   seinen x,y aus G mit   a*_(x) = a*_(y)

dann ist  a*x  =  a*y   multipliziere die Gleichung von links

mit dem Inversen von a (nenne ich mal A)

gibt  A * (a*x)  =  A * (a*y)  wegen Assoziativität:

(A * a) * x = (A * a) *y

Inverses mal a gibt neutrales Element e, also

e * x = e * y

also        x =  y   demnach ist die Abb injektiv.

surjektiv:      sei y aus G. Dann ist zu zeigen: Es gibt x aus G mit   a*_(x) =y

Wähle x = A*y   (s.o. A ist das Inverse von a)

dann gilt    a*_(x) =  a*_(A*y) = a* (A*y) = (a*A)*y = e*y = y    q.e.d.

b) zeigen Sie, dass die Abbildung φ:G→S(G) mit φ(a)=a*_ (also φ(a)(x)=a*x)

ein injektiver Gruppenhomomorphismus von (G,*) in (S(G),*) ist.

φ ist Homomorphismus, wenn für alle a,b aus G gilt

φ(a*b) =   φ(a) ° φ(b)

um die Gleichheit dieser beiden Abb'en zu zeigen, muss man zeigen:

Für alle x aus G gilt       φ(a*b)(x) =   φ(a)( φ(b)(x))

Nachweis: sei x aus G:  φ(a*b)(x)           (( nach Def. von phi )

=     (a*b)*_(x)        Def von  *_

=   (a*b)*x    (assoziativ             )

=   a*(b*x)    Def von b *_

=  a* ( b*_(x))  Def von a*_

=a*_(b*_(x))   Def von phi auf b angewandt

                                     = a*_(   φ(b)(x)   )  Def von phi auf a angewandt

=   φ(a)  ( φ(b)(x)  )  Def von °

=    ( φ(a) °  φ(b))  (x)  also Homomorphismus

injektiv:   Seien a,b aus G mit φ(a) =  φ(b)

also für alle x aus  G     φ(a)(x)    =   φ(b)(x)

also                                 a*x  =   b*x

also insbesonder für das neutrale Element e

a*e  =   b*e      also   a=b

damit ist phi injektiv