Zeigen Sie, dass eine Gruppe G mit der Eigenschaft x^2=1 für alle x∈G abelsch ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine Gruppe G mit der Eigenschaft x^2=1 für alle x∈G abelsch ist.

Answer 1

\(1=(xy)^2=x(yx)y\Rightarrow xy=x\cdot 1\cdot y=x[x(yx)y]y =(xx)(yx)(yy)=yx\).

Comments

Wäre auch diese Lösung richtig?

Sei a,b ∈ G

a^2.b^2=1

(a.a.b).b=1

a.(a.b) = b^-1

a.b = b^-1 .a^-1 ==> a.b =b.a

b^2 =1

a=0^-1

---

Die Folgerung

\(a(ab)=b^{-1}\Rightarrow ab=b^{-1}a^{-1}\) ist nicht

nachvollziehbar; denn du multiplizierst von links mit \(a^{-1}\).

Folgendes könntest du machen:

\((ab)^2=1\Rightarrow ab=(ab)^{-1}\Rightarrow b^{-1}a^{-1}\).

Letzteres gilt in jeder Gruppe, also in unserem Falle

\(ab=ba\), da \(x^{-1}=x\) für alle \(x\in G\).