Vierergruppen: Geben Sie eine Verknüpfungstafel für die Gruppe an. Ist diese Gruppe abelsch?

Question

Sei \( S\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) die Gruppe der bijektiven Abbildungen der Ebene in sich selbst (mit der Komposition o als Verknüpfung). Für eine Teilmenge \( A \subset S\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) definieren wir die von \( A \) erzeugte Untergruppe

\( \operatorname{erz}(A):=\left\{f_{1} \circ \cdots \circ f_{n}: n \in \mathbb{N}, f_{i} \in A \text { oder } f_{i}^{-1} \in A\right\} \)

a) Sei \( d \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) eine Drehung um den Ursprung um \( 90^{\circ} \). Geben Sie eine Verknüpfungstafel für die Gruppe \( C_{4}:=\operatorname{erz}(\{d\}) \) an. Ist diese Gruppe abelsch?

b) Seien \( x, y \in S\left(\mathbb{R}^{2}\right) \) die Spiegelungen an den beiden Achsen. Geben Sie eine Verknüpfungstafel für die Gruppe \( D_{2}:=\operatorname{erz}(\{x, y\}) \) an. Ist diese Gruppe abelsch?

* Zeigen Sie, dass es keine weiteren Gruppen der Ordnung 4 gibt.

Answer 1

Sei G = {1,a,b,c} eine Gruppe der Ordnung 4.

Sei a² = b, es kann nicht a³ = 1 gelten, dann hätten wir eine Untergruppe der Ordnung 3, also a³ = a, d.h. a² = 1, oder a³ = c.