Unendliche Diedergruppe: Zeigen Sie, dass (D, °) eine Gruppe ist.

Question

Aufgabe Unendliche Diedergruppe (4)

Für \( m \in \mathbb{Z} \) definieren wir Abbildungen

\( \begin{aligned} s_{m}, r_{m}: \mathbb{Z} & \rightarrow \mathbb{Z} \\ s_{m}(n) &=m+n \\ r_{m}(n) &=m-n \end{aligned} \)

und setzen \( D:=\left\{r_{m}: m \in \mathbb{Z}\right\} \cup\left\{s_{m}: m \in \mathbb{Z}\right\} \).

Zeigen Sie, dass \( (D, \circ) \) eine Gruppe ist. Dabei bezeichne o das Hintereinanderausführen von Abbildungen. Ist diese Gruppe abelsch?

Answer 1

1. Abgeschlossenheit und Nichtabelschheit:

\((s_k\circ s_m)(n)=s_k(s_m(n))=s_k(m+n)=k+m+n=s_{k+m}(n)\),
also \(\; s_k\circ s_m=s_{k+m}\in D\).
entsprechend hat man:
\(s_k\circ r_m=r_{k+m}\in D\) und \(r_m\circ s_k=r_{m-k}\in D\).
Hieran sieht man u.a., dass die Gruppe nicht abelsch ist.
\(r_k\circ r_m=s_{k-m}\).

2. Assoziativität: ist klar, da Hintereinanderausführung von Abbildungen
immer assozietiv ist.

3. Neutrales Element ist die identische Abbildung \(s_0\).

4. Inverses:

\(r_m\circ r_m=s_0\), also \(r_m^{-1}=r_m\)  und
\(s_m\circ s_{-m}=s_0\), also \(s_m^{-1}=s_{-m}\).

Gruß ermanus