Zeigen Sie, dass eine Gruppe G mit der Eigenschaft x2=1 für alle x∈G abelsch ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass eine Gruppe G mit der Eigenschaft x²=1 für alle x∈G abelsch ist.

Answer 1

$1=(xy)^2=x(yx)y\Rightarrow xy=x\cdot 1\cdot y=x[x(yx)y]y =(xx)(yx)(yy)=yx$.

Comments

Wäre auch diese Lösung richtig?

Sei a,b ∈ G

a^2.b^2=1

(a.a.b).b=1

a.(a.b) = b^-1

a.b = b^-1 .a^-1 ==> a.b =b.a

b² =1

a=0^-1

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Die Folgerung

$a(ab)=b^{-1}\Rightarrow ab=b^{-1}a^{-1}$ ist nicht

nachvollziehbar; denn du multiplizierst von links mit $a^{-1}$.

Folgendes könntest du machen:

$(ab)^2=1\Rightarrow ab=(ab)^{-1}\Rightarrow b^{-1}a^{-1}$.

Letzteres gilt in jeder Gruppe, also in unserem Falle

$ab=ba$, da $x^{-1}=x$ für alle $x\in G$.