Sei G eine Gruppe, zeige, dass die Abbildung f : G → G, x |→ x0 ○ x bijektiv ist

Question

a) Sei (G,○) eine Gruppe und x₀ ∈ G. Zeige, dass die Abbildung 

f : G → G
     x ↦ x₀ ○ x

bijektiv ist.

Das ist die Aufgabenstellung. Ich weiß, was eine Gruppe ist und kenne die Eigenschaften (Abgeschlossen, Assoziativ, Neutralelement, Inverselement) und ich kann mich vage erinnern, was bijektiv heißt, aber wie kann ich das zeigen? Außerdem verwirrt, mich, dass hier keine konkrete Verknüpfung steht sondern nur allgemein ○.

Weiters gibt es auch noch Aufgabenstellung b), aber ich möchte zuerst mal a) schaffen, muss ich wahrscheinlich auch.

b) Folgere daraus, dass die Zahlen a, 2a,..., (p-1)a alle verschiedene Reste modula p haben, wenn p eine Primzahl und a !≡ 0 mod p ist.

Comments

"ich kann mich vage erinnern was bijektiv heißt"

Wie willst du etwas zeigen an dass du dich vage erinnerst. Guck dir die Definition an. Die Aufgabe ist wirklich nicht der Hammer.

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Ja ich bin grad dabei mir die Bijektivität anzuschauen.

Answer 1

a) Sei (G,○) eine Gruppe und x₀ ∈ G. Zeige, dass die Abbildung

f : G → G
     x ↦ x₀ ○ x

bijektiv ist.  D.h. injektiv und surjektiv.

injektiv heißt  wenn f(x)=f(y) dann x=y

seien also x,y aus G mit f(x)=f(y)

also  x₀ ○ x= x₀ ○ y

Der  ○  ist ja die Gruppenoperation, da es eine Gruppe

ist, hat x₀  ein (Links)inverses, etwa x1. Damit multiplizierst

du auf beiden Seiten von links, gibt

x1 ○ (   x₀ ○ x) = x1 ○ ( x₀ ○ y)   da es in der Gruppe assoziativ ist

(x1 ○    x₀ )○ x =( x1 ○  x₀ )○ y 

in den Klammern ergibt es jeweils das neutrale Element m

n ○ x   =   n ○ y

also x=y     damit f injektiv.

surjektiv: Sei y aus G. z.zg.: Es gibt ein x aus G mit f(x) = y

also   x₀ ○ x = y    wieder von links mit x1 multipliz.

x1 ○ ( x₀ ○ x) =  x1 ○  y

assoziativ  n  ○ x=  x1 ○  y 

x =   x1 ○  y 

also gibt es so ein x.  q.e.d.

Comments

Danke, das hab ich super verstanden!

Answer 2

wähle \( f^{-1}(x) = x_0^{-1}x \). Damit gilt \( f \circ f^{-1}(x) = f^{-1} \circ f(x) = x \).

\( x_0^{-1} \) existiert in \( G \) und der Nachweis der Bijektivität von \( f \) geschieht durch die Angabe einer Umkehrfunktion \( f^{-1} \).

MfG

Mister