Ist folgende Abbildung bijektiv

Question

Hi,

gegeben ist eine Abbildung f: G->G , wobe G eine Gruppe ist, und f(a)->a*b , wobei b ungleich 0 und fest gewählt ist.

zu zeigen ist die Bijektivität der Abbildung. Die Injektivität ist, ziegt man recht simpel dadurch, dass im Kern nur die 0 liegt. Da a*b=0 genau dann wenn a=0. Und aus Ker f={0} folgt die Injektivität

Aber bei der Surjektivität bin ich etwas ratlos. Es soll ja gezeigt werden, dass ich wieder auf alle Elemente in meiner Gruppe abbilde.

Nun könnte ich annehmen dass a=c*b^{-1}. Dies abgebildet würde c*b^{-1}*b=c ergeben. Aber ist so eine Darstellung in Gruppen eindeutig? Und komme ich so überhaupt weiter zu meiner Surjektivität?

Vielen Dank für jede Hilfe

Comments

Was soll denn 0 in einer multiplikativ geschriebenen Gruppe sein?

Fuer den Rest, sie da:

https://en.wikipedia.org/wiki/Group_(mathematics)#Division

Answer 1

in jeder Gruppe (G , *)  ist die Gleichung  x * b = c  für alle b,c ∈ G eindeutig

durch c * b^-1 erfüllbar.

→  Für jedes c ∈ G gibt es ein x ∈ G mit  c = x * b = f(x) 

→  f ist surjektiv

Gruß Wolfgang