Zeigen Sie, dass φ bijektiv ist und folgende Eigenschaft hat: ∀a, b ∈ G gilt φg(a ◦ b) = φg(a) ◦ φg(b).

Question

Aufgabe:

Sei (G, ◦) eine Gruppe und g ∈ G fest gewählt. Sei φ_g : G → G definiert durch
x → g ◦ x ◦ g^-1.

Zeigen Sie, dass φ bijektiv ist und folgende Eigenschaft hat:
∀a, b ∈ G gilt φ_g(a ◦ b) = φ_g(a) ◦ φ_g(b).

Comments

Fang doch mal selbst an: Gefrsgt ist nach Injektivität und Subjektivität. Sei ein y aus G gegeben, gesucht ist/ sind x aus G mit

$$\phi(x)=gxg^{-1}=y$$

Wie könnte man diese Gleichung nach x auflösen?

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Hallo

was hast du schon überlegt? wo genau weisst du nicht weiter?

lul

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Die aufgelöste Gleichung müsste \( \frac{y}{gg^-1} \)  sein.

Somit wäre φ ja schonmal surjektiv.

Ich weiß bei der Injektivität nicht genau wie ich da ran gehen soll, mein Versuch war:

Seien x₁,x₂∈G so gilt g°x₁°g^-1 = g°x₂°g^-1

Somit wäre φ auch injektiv und somit auch bijektiv, doch kann man das einfach so schreiben?

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Die aufgelöste Gleichung müsste \( \frac{y}{gg-1} \)  sein.

Wie wäre denn in einer Gruppe definiert - oder was meinst Du mit frac?

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Das frac ist ein Überbleibsel vom misslungenen Bruchstrich, ansonsten hab ich das gleiche Ergebnis raus.

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Was meinst Du mit Bruch in einer Gruppe? \(\frac{y}{gg^{-1}}\) wäre nicht definiert??