Dichte- und Verteilungsfunktion skizzieren

Question

Hallo alle miteinander,

ich habe ein Problem mit einer Aufgabe:

Sei $$u \in \mathbb{R}.$$ Die Dichtefunktion einer stetigen Zufallsvariable $$X_u$$ sei $$f_u(x) = 1_{[0,u]} cx^2.$$

Die Funktion kann man aucch so schreiben: F_u(x) = cx^2 , 0≤x≤u, und 0 sonst. Ich habe c - welches von u abhängt - bestimmt, und da kommt bei mir $$c = \frac{3}{u^3}.$$ Jetzt weiß ich nicht, wie ich

(1) die Verteilungsfunktion bestimmen soll, und

(2) die Dichtefunktion skizzieren soll.

Kann mir jemand bitte helfen?

Edit: ich bin mir nicht sicher, aber kann es sein, dass die Verteilungsfunktion folgendes lautet:

$$F_u(x) =\begin{cases}    1,  & 0 \leq x \leq u\\    0,  & \text{sonst } \end{cases}$$

Answer 1

Hi,
den Faktor \( c=\frac{3}{u^3} \) hast Du richtig berechnet, damit wird \( \int_{-\infty}^\infty f_u(x)dx=1 \) was für eine Dichte ja immer gelten muss.

Die Verteilungsfunktion ist definiert als
$$ F(x)=\int_{-\infty}^x f_u(z)dz $$
Im Bereich von \( -\infty \) bis \( 0 \) gilt \( F(x)=0 \)
Ist \(x \le u \) gilt
$$ F(x)=\int_0^x f_u(z)dz=c\frac{x^3}{3}=\left( \frac{x}{u} \right)^3 $$
Ist \( x > u \) gilt
$$ F(x)=\int_0^u f_u(z)dz=c\frac{u^3}{3}=1 $$
Insgesamt gilt also
$$ F(x)=\begin{cases} 0 & \text{für } x \le 0 \\ \left( \frac{x}{u} \right)^3 & \text{für } 0 < x \le u \\  1 & \text{für } x > u\end{cases} $$

Für die Dichtefunktion gilt, wenn  man den Wert für \( c \) einsetzt
$$ f(x)=\begin{cases} 0 & \text{für } x \le 0 \\ \frac{3}{u} \left( \frac{x}{u} \right)^2 & \text{für } 0 < x \le u \\  0 & \text{für } x > u\end{cases} $$