Stochastik: Dichte gegeben. Zugehörige Verteilungsfunktion?

Question

Es sei eine Dichte gegeben durch
f(x) = (α^βx^β−1e^−αxβ, x ≥ 0
            0,                     x < 0,
wobei α, β > 0.
a) Berechnen Sie die dazugehörige Verteilungsfunktion.
b) Gegeben sei eine auf [0, 1] gleichverteilte Zufallsvariable U. Bestimmen Sie eine Funktion G :
[0, 1] → R, sodass G (U) die Dichte f besitzt

Könnte mir hier bitte jemand helfen?

Comments

Lautet die Dichte wirklich $$ \alpha^\beta x^{\beta-1} e^{-\alpha x \beta}  $$ und nicht vielleicht

$$ \alpha^\beta x^{\beta-1} e^{-\alpha x ^\beta}  $$

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Du hast recht. Ich habe mich verschrieben

Answer 1

Die Verteilungsfunktion berechnet sich ähnlich wie hier

https://www.mathelounge.de/678949/verteilungsfunktion-x-1-e-x

Das Ergebnis ist $$  F(x) = \frac{ \alpha^{ \beta-1 } }{\beta} \left( 1 - e^{-\alpha x^\beta} \right) $$

Der zweite Teil geht wie folgt.

Wenn \( U \) eine gleichverteilte Zufallsvariable ist und \( X = F^{-1}(U) \) gesetzt wird, dann besitzt \( X \) die Verteilungsfunktion \( F \), weil gilt

$$ P( X \le x ) = P (F^{-1}(U) \le x) = P(U \le F(x)) = F(x)  $$ gilt.

Du musst also die Umkehrfunktion von \( F \) bestimmen.