Was ist die zugehörige Verteilungsfunktion F^X (r) für r ∈ [0,2 ]?

Question

Aufgabe:

Man betrachtet eine Zufallsgröße X mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f:[0,2] -> ℝ; f(t)=1,5(t^2 -2t +1)

Was ist die zugehörige Verteilungsfunktion F^X (r) für r ∈ [0,2 ]?

Problem/Ansatz:

Ich glaube, dass man nur die Stammfunktion berechnen muss, allerdings bin ich mir unsicher.

Answer 1

Aloha :)

Genau, du musst die Stammfunktion berechnen und auf den Wert \(1\) normieren. Daher schreiben wir einen Normierungsfaltor \(\alpha\) vor das Integral, den wir am Ende bestimmen:$$F(x)=\alpha\int\limits_0^xf(t)\,dt=\alpha\int\limits_0^x\frac32\left(t^2-2t+1\right)dt=\alpha\int\limits_0^x\frac32\left(t-1\right)^2dt$$$$\phantom{F(x)}=\alpha\,\frac32\left[\frac{(t-1)^3}{3}\right]_{0}^x=\alpha\,\frac32\left(\frac{(x-1)^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}\right)=\frac{\alpha}2\left((x-1)^3+1\right)$$

Nun fehlt noch der Normierungsfaktor:$$1\stackrel!=F(2)=\frac{\alpha}2\left(1^3+1\right)=\alpha$$

Damit lautet die Verteilungsfunktion:$$F(x)=\frac{(x-1)^3+1}{2}\quad\text{für}\quad x\in[0;2]$$

Comments

Wieso den Umstand mit dem Normierungsfaktor - hat die Fläche unter einer Dichtefunktion nicht schon per Definition die Größe 1?

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Eigentlich schon, das habe ich hier aber oft anders gesehen. Deswegen der Normierungsfaktor.

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Könntest du mir bitte bei meiner aktuellen Frage helfen? Komme da nicht weiter(Vektoren, Bildung von Komponenten).

Answer 2

Ja, das ist so.        

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